如何理解 n 維空間和 n 維時空">如何理解 n 維空間和 n 維時空

前言

一定有朋友好奇為何筆者會突然發這樣一篇看似和技術完全不相幹的文章出來。其實這塊內容也是筆者在研究時空搜索的時候引申出來的內容。看了一些資料，加深了對 n 維空間和 n 維時空的理解，就總結了一下。如果是對這方面完全沒有接觸的朋友一開始看一定會覺得陌生，如果是數學專業或者專業就是這方向的朋友，文章如有錯誤，歡迎提出來一起討論。

空間和時空

首先空間和時空是常常會被混淆的兩個概念。其實他們兩者不同。

愛因斯坦的廣義相對論裏面提到過四維空間，講的是三維空間加一維時間。這個並不是數學裏面的多維空間的概念。實際上，時間維是獨立於空間維的。一維空間也可以有時間，二維空間也有時間。多維空間都有時間。但是廣義相對論裏面提到的四維空間實際上是三維空間加上一維時間組成的四維時空。

黎曼幾何之後的高維幾何發展了很多年，在超弦理論裏宇宙的空間是九維空間加一維時間。而在 M 理論裏，宇宙是十維空間加一維時間的十一維時空。

如何描述高維空間的劃分

在二維的空間中，兩條垂直相交的直線，可以構成 X 軸和 Y 軸。在三維的空間中，三條相互垂直相交的指向，構成了 X 軸，Y軸和 Z 軸。第三條直線穿過二維空間中交點(即原點)，並且垂直於二維空間。同理，在四維空間中，同樣會有一條直線，穿過這三維空間的三條直線的交叉點(三維坐標軸的原點)，並垂直於前面三條直線。四維空間中垂直於三維空間的這條線，是無法在三維空間中表示出來的，也無法畫出來。這條線位於坐標原點內部的四維空間中。

那麽四維空間如何形象的和三維空間產生聯系呢？畢竟三維空間是我們人類最最熟悉的空間結構。我們知道三維空間有 X 軸，Y軸，Z軸，那麽它們三條軸線能把整個空間分為6個面，上下，左右，前後。那四維空間還能怎麽劃分空間呢？它比三維空間還多出了裏外，兩個方向。裏面的上面，和外面的上面是不同的空間。雖然在三維空間中都是上面。

同理，我們將這些理論繼續推廣到高維空間中，那麽一定存在一條線能垂直於 n-1 條線，並且 n-1 條線也是相互垂直相交的。

以上就是通過空間劃分的角度來描述多維空間。

高維空間事物的形態

在高維空間中，事物都是非常抽象的，可能無法用圖形畫出來，但是我們可以通過我們能理解的低維空間去理解高維，這就需要研究高維空間事物在低維空間的展現形態了。

在二維空間中，正三角形有三個頂點。並且假設邊長都等於1。如果在空間中存在第四個點，能使得這個點到三個頂點的距離都等於1。那麽這個點必定不存在在二維空間中，且一定存在於三維空間中(此處數學證明省略，太難了，感興趣的同學可以證明一下)。如果在三維空間中把這四個點都連接起來，那麽就可以構成一個三維的正四面體。

同理，如果有第五個點能和這個三維的正四面體距離都是1，那麽這個點也一定存在於四維空間中，與三維的正四面體一起構成四維的超四面體。

超四面體已經超出了我們生活的維度了，所以我們無法在三維空間中畫中它的形狀。但是我們可以通過投影的方式來在三維空間中去觀察它。

先來回顧一點三維的正四面體是怎麽產生的。由於是等邊三角形，所以等邊三角形的垂心到三個頂點的距離一定是相等的。那麽我們就把這個內心取出來，拉到三維空間中，直到距離其他三個頂點的距離為1。這樣就生成了三維的正四面體。由垂心分割的內部三個鈍角三角形跟隨著垂心的，拉出去就會變成正四面體外面的3個面。

同理，在三維的正四面體的中，取出它的垂心。垂心與四個頂點的距離都相等。這個垂心就將正四面體在內部分割成了4個扁四面體。那麽將垂心拉到四維空間中做第五個頂點的話，就會變成超四面體。內部分割的4個扁四面體也會進化成超四面體的四個外表面。

四維的超四面體是5個頂點，10條棱邊，10個三角面，5個四面體構成的超體。用三維空間無法描述它。

正方體是我們常見的三維物體。那四維空間裏面的立方體變成什麽樣子了呢？

上圖就是四維空間裏面的立方體，叫超立方體。

上圖反映出四維方體每條邊等長，也可以看出立方體如何互相連接的。構造一個超立方體的最簡單的步驟就是把2個立方體的8個頂點都分別和另外一個超立方體的頂點連接起來。

上圖揭示的是超立方體本質上是從結合2個立方體，連接對應頂點得來的。

上圖按著每一頂點由最底一頂點出發沿著棱走的長度排列。如果我們是要將超正方體用作在 並行計算 中連接不同處理器 網絡拓撲 基礎，則這些圖像會非常有用。在超正方體中任意兩個頂點之間之間至多有4中不同的路程，並且這裏有許多路徑是等同的。超正方體還是一個 二分圖 ，就像正方形和立方體一樣。

下面的兩個圖是透視投影圖

上圖是正八胞體繞著一個從左前到右後，從上到下切過圖形的平面進行 單旋轉 時的 透視投影 。

上圖是正八胞體繞著兩個在四維空間中互相 正交 的平面進行 雙旋轉 時的透視投影。

另外四維空間與以上的空間，屬於高維模型。高維模型，也分數學與物理兩個概念。

在數學上，多維有很多模型。理論上，維數可以很高。模型很多。但是滿足交換不變性質的很少，所以，有人認為四維空間是物理上限。但是，也有人認為會有更高維數物理。去思考，有益智力，因為只受到數學條件約束。

在物理上，多維有很多模型。理論上，維數不可以很高。為了解釋，宇宙整體的有限無邊的性質，必須引入多維，一般是四維時空（一對相對組成性質），也有一些其它有限可數的維數，可能在物理上成立的模型不多。去思考難度很大，因為要受到物理現象的約束。

透視 和 穿墻術 真的不存在麽？

螞蟻眼中的世界近乎是二維的，在它的眼裏只有長度和寬度，而沒有高度。任何三維的物體對於它來說都是一個“面”，它就會去爬。再或者是二維空間裏，生活在清明上河圖裏的人，他們眼中的世界就只有雜亂無章的點線面，畫中的人是無法對整幅畫中的世界有一個完整的認識的。但是生活在三維空間的我們卻可以一眼看到整個畫中的世界。同理，處於三維空間裏面的我們，看三維空間的物體，也是無法一眼看完的。比如眼前的高樓大廈，要想看完它的四周加上樓頂和樓底，我們無法一眼看完，需要圍繞一圈才行。但是這些在四維空間裏面，四維空間裏面的生物看高樓其實一眼就能看到它是什麽樣子的。

於是可以得到一個也許不太正確的結論，低維空間不過是高維空間的表皮，因為低維空間是由高維空間中某個維度坍塌導致退化成了“皮”。

回想一下之前講到的二維的等邊三角形，三維的正四面體，四維的超四面體，低維不就是高維的皮麽？處於高維看低維，一覽無遺。

再比如素描中所說的“透視”，通過一些成像原理，能看到物體被遮擋的部位。當然不是真實的看見。如果是真實的看見，那麽這個“透視”就是穿越了維度。

再說說西遊記裏面的孫悟空畫圈保護唐僧，在二維空間裏面，這個圈完全可以保護好唐僧，但是到了三維空間中，只需要輕輕的跳出這個圈子，就能擺脫悟空的束縛。在三維空間中想保護一個人，就需要用一個封閉的空間來把他關起來。但是這個人如果是四維空間的人，那麽他也能很輕易的跳出這個四維空間。這就是三維空間裏面的人無法理解“穿墻術”，但是四維空間裏面的人卻可以很輕松的做到。

變形金剛真的不存在麽？

在我們生活的三維空間中，能不斷的變化自己形態的生物不多。三維世界裏面能像變形金剛那樣變形的真的不多，尤其是能從內到外的變形。那麽在高維空間的世界裏，存在變形金剛這種事物麽？

答案是同一維也許不多，但是跨空間維的有很多。

比如三維空間裏面的一個立方體或者多面體，二維的事物是如何理解它們呢？

舉一個雙曲線的例子：

兩個倒立的圓錐，頂對著頂放置。用一個平面去切割它們，三維物體在這個平面上留下的曲線，我們叫做圓錐曲線。當曲面切的方向不同也就可以形成不同的圓錐曲線，有圓形，有拋物線，有雙曲線，有橢圓。

在二維的世界裏，只能認識這幾種不同的圓錐曲線。但是在三維的世界裏，我們就能理解到這是兩個圓錐。

上圖也很明顯的展示了高維空間裏面的物體在平面上的切面不同，展示的形狀也不同。

那我們擴展到四維空間，如果一個四維空間的物體，被三維空間不斷的切面，在三維空間上留下的三維體，不就是會不斷變化的麽？

所以我們不能理解變形金剛是因為我們處於低維空間中，在高維物體被低維空間切割的時候，就會發生變形金剛的現象。

時間真的不能逆轉麽？

小時候經常會考慮這樣一件時間，時光真的不能逆轉麽？破鏡真的不能重圓麽？想說明白這間事情，就必須先談談我們現在所在的四維時空。

在愛因斯坦的廣義相對論中，談到了四維時空，說的是三維空間加一維時間。人的一生就像是一條時間軸，從出生到老去。人在四維時空是是無法回到過去，回到小時候的。

那我們如何定義時空呢？

如何描述高維時空

在文章開始，我們用坐標軸的方式，以空間劃分的方式對高維空間進行了劃分，並且推廣到了 n 維空間中。

這裏我們換一個角度，從概率論的方式，從低維時空開始，推廣到 n 維時空。

先看看一維空間，兩個點就可以組成一條線。當無限多條線鋪滿一層的時候，就變成了二維空間。這麽多條線就占滿了所有的可能性。所以一維只有長度，沒有寬度和高度(深度)。

在二維空間中，是一個個的面。當無數多個面鋪滿一個空間的時候，就會變成三維空間。這麽多個面也就占滿了空間所有的可能性。二維空間中也有了長度和寬度，沒有高度(深度)。

三維空間這個大家都熟悉，就不再贅述了。三維空間裏面的東西都具有長度，寬度和高度。

在四維時空中，比三維空間多了一維時間。還是用之前概率論的方式來定義四維時空，那麽多了一維時間就是從物體的產生到最終淫滅的時候。對人來說就是一生。這一生的時間占滿了人一生可以做的所有活動，代表了所有可能性。

這裏存在一個平行宇宙的概念。在人一生這麽長的時間中，會做出很多抉擇，這些抉擇會改變未來一生的發展。每個選擇都有選擇的可能性。如果有 n 個選擇，就有 n 個結果。每個結果都往下發展就可能得到不同的人生。同一個時間軸就有可能同時對應的 n 種可能性。在遊戲裏面就相當於有 n 條主線，而每個遊戲角色卻只能選擇其中的一條主線。

當然每個選擇並不一定是二選一。也可以多選。多選導致的結果也會不同。比如選擇了考研出國，找國外的女友，在國外買房。多個維度的選擇累積會對未來產生影響。也有可能小時候努力學習，考入名校，長大就過著人生贏家的生活。

在量子理論中，超小粒子構成了整個世界。各種可能性作為波，減弱至確定的一點。我們不斷的在人生中做出選擇，也不算的減弱這些波，直到選擇都做完了，也就確定了一點，這個點就是最終的結果。

遊戲這麽多條主線，也能構成一個面。這個面是一個二維的面，當然這個面很特殊，裏面的線都是時間線。這就構成了五維時空。這些時間線占滿了人一生的所有可能性。

再回到之前我們談到的時光能否逆轉的問題上來。

我們知道，如果把一個面進行扭曲，那麽可以做到讓本來相距很遠的點，相距很近。

蟲洞也就是這個道理。如果沿著面表面走，需要很長的光年，但是如果穿越蟲洞，就可以立即到達對面。

上面這個現象可以總結成，低一維的事物可以通過扭曲，快速的連接本來距離很遠的東西。

那麽在六維時空中，我們扭曲五維時空，把當前人生和出生的時間扭曲到一起去，那麽就能回到過去，時光就相當於逆轉了！

所以時光逆轉在六維時空中是可能實現的！

在六維時空中，把所有的這些可能性都看成一個點。那個這些點再去占滿所有的可能性就能得到七維時空了。那七維時空是什麽呢？它的意義是什麽？

七維時空裏的點就代表了宇宙的所有可能性，是一個無窮的點。

那宇宙所有的可能性指的是什麽呢？

這就要從宇宙大爆炸開始了，宇宙大爆炸開始產生了萬物。而宇宙也是有生命，到它的終結也會包含各種可能性。

那七維時空裏面的點占滿所有的可能性，就能得到八維時空。那八維時空裏面的點的意義又是什麽呢？

七維時空的點代表了宇宙的所有可能性。那在八維時空裏面還有那麽多的其他的點，它們又是什麽意義呢？

這些點其實是可能是由於不同的宇宙大爆炸產生的不同的無限中可能。不同的初始狀況，爆炸後產生不同的重力，不同的光速。

我們將八維時空繼續扭曲，就能得到九維時空。

現在回過頭來總結一下時空的定義。

從一維開始，從一個點開始，兩點為線，是一維。線再變成面，變成二維，面再通過累計成為三維。

三維以後的四維時空是變成了一個時間點。兩個點連成線，只不過這個線是時間線。這就成為了五維時空。五維時空再通過累積和扭曲變成六維。

七維時空又是一個點，這個點代表了一個宇宙的所有可能。兩個這種無限的點連接，代表了不同可能的宇宙產生的不同的無限中的可能。這就成為了八維時空。八維時空再通過累積和扭曲變成九維時空。

那麽十維時空裏面又變成一個點了。這個點一定也就代表了所有可能的宇宙中的 所有可能的時間線的所有可能的無限點。

然而這個點似乎已經不存在了。

在超弦理論中，十維時空裏振動的超弦正是我們創造出的組成我們的宇宙和其他宇宙的比原子還要更小的粒子。換句話說，十維時空裏面包含了所有所有所有的可能性。

至此，全文就接近尾聲了。

最後拋出兩個問題吧。

歐幾裏得的高維空間能被“壓縮”麽？n 維空間能降成一維空間麽?

愛因斯坦的廣義相對論裏面的高維時空的時間維能被“壓縮”麽？n 維時空能降成四維時空或者更低的時空麽？

Reference：

解讀神秘的四維空間 從一維空間到十維空間演變

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