Python資料結構-圖
摘要：
Python 演算法基礎之圖結構表示方法總結。
圖是一種重要的資料結構，它可以代表各種結構和系統，從運輸網路到通訊網路，從細胞核中的蛋白質相互作用到人類線上互動。
圖是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，通常表示為：G(V,E)，其中，G表示一個圖，V是圖G中的頂點的...
圖是一種重要的資料結構，它可以代表各種結構和系統，從運輸網路到通訊網路，從細胞核中的蛋白質相互作用到人類線上互動。
圖是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，通常表示為：G(V,E)，其中，G表示一個圖，V是圖G中的頂點的集合，E是圖G中邊的集合。如下圖：
下面將以如圖所示的有向圖為例進行說明 Python 中圖結構的表示方法。
鄰接集合
對於圖結構的實現來說，最直觀的方式之一就是使用鄰接列表。基本上就是針對每個節點設定一個鄰接列表，可以使用集合、列表或者字典來實現。第一種是針對每個節點設定一個鄰居集合。
# 將節點的編號賦值給相應的節點，方便操作
a, b, c, d, e, f, g, h = range(8)
N = [
{b, c, d, e, f},# a
{c, e},# b
{d},# c
{e},# d
{f},# e
{c, g, h},# f
{f, h},# g
{f, g}# h
]
# 列表中每個集合是每個節點鄰接點集
N(v) 代表 v 的鄰接點集。測試：
>>>b in N[a]# 節點 b 是否是 a 的鄰居節點 True >>>len(N[a])# 節點 a 的出度 5
鄰接列表
與鄰接集合類似，只是針對每個節點設定的是一個包含所有鄰居的列表，而不是集合。
a, b, c, d, e, f, g, h = range(8) N = [ [b, c, d, e, f], [c, e], [d], [e], [f], [c, g, h], [f, h], [f, g] ]
加權鄰接字典
使用字典型別來代替集合或列表來表示鄰接表。在字典型別中，每個鄰居節點都會有一個鍵和一個額外的值，用於表示與其鄰居節點（或出邊）之間的關聯性，如邊的權重。
a, b, c, d, e, f, g, h = range(8)
N = [
{b: 2, c: 1, d: 3, e: 9, f: 4},# a
{c: 4, e: 3},# b
{d: 8},# c
{e: 7},# d
{f: 5}, # e
{c: 2, g: 2, h: 2},# f
{f: 1, h: 6},# g
{f: 9, g: 8}# h
]
測試：
>>>b in N[a]# b 是否是 a 的鄰居節點 True >>>len(N[f])# 度 3 >>>N[a][b]# 邊(a, b)的權重 2
鄰接集字典
以上圖的表示方法都使用了list型別，其實，也可以使用巢狀的字典結構來實現。
N = {'a':set('bcdef'),
'b':set('ce'),
'c':set('d'),
'd':set('e'),
'e':set('f'),
'f':set('cgh'),
'g':set('fh'),
'h':set('fg')
}
# 如果省略set()構造器，用鄰接字串表示鍵值，工作方式相當於鄰接列表
當然，字典的值也可以使用列表來表示。測試：
>>>'h' in N['a']# a 是否有到 h 的邊 False >>>len(N['g'])# 節點 g 的度 2
巢狀字典
也可以使用巢狀字典的方式來實現加權圖。
N = {'a':{'b':2, 'c':1, 'd':3, 'e':9, 'f':4},
'b':{'c':4, 'e':3},
'c':{'d':8},
'd':{'e':7},
'e':{'f':5},
'f':{'c':2, 'g':2, 'h':2},
'g':{'f':1, 'h':6},
'h':{'f':9, 'g':8}
}
測試：
>>>'f' in N['e']# e 是否有到 f 的邊 True >>>len(N['e'])# 節點 e 的度 1 >>>N['a']['e']# 邊(a, e)的權重 9
鄰接矩陣
圖的另一種常見表示法就是鄰接矩陣。這種表示的主要不同之處在於，它不再列出每個節點的所有鄰居節點，而是會將每個節點可能的鄰居位置排成一行（也就是一個數組，用於對應圖中每一個節點），然後用某種值（如True或False）來表示相關節點是否為當前節點的鄰居。
a, b, c, d, e, f, g, h = range(8) N =[ [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0], ]
測試：
>>>N[a][b] # a 是否有到 f 的邊 1 >>>sum(N[f]) # 節點 f 的度，不能再用 len 函式 3
注意，鄰接矩陣中：
- 主對角線為自己到自己，為 0
- 行和為出度
- 列和為入度
加權鄰接矩陣
對不存在的邊賦予無限大權值的加權矩陣。
a, b, c, d, e, f, g, h = range(8)
inf = float("inf")# 無窮大
W = [
[0,2,1,3,9,4, inf, inf],# a
[inf,0,4, inf,3, inf, inf, inf],# b
[inf, inf,0,8, inf, inf, inf, inf],# c
[inf, inf, inf,0,7, inf, inf, inf],# d
[inf, inf, inf, inf,0,5, inf, inf],# e
[inf, inf,2, inf, inf,0,2,2],# f
[inf, inf, inf, inf, inf,1,0,6],# g
[inf, inf, inf, inf, inf,9,8,0]# h
]
測試：
>>>W[a][b] < inf # a 是否有到 b 的邊 True >>>W[c][e] < inf # c 是否有到 e 的邊 False >>>sum(1 for w in W[a] if w < inf) - 1 # 度 5
參考資料：
Hetland M L. Python Algorithms: mastering basic algorithms in the Python Language[M]. Apress, 2014.