拜託，面試別再問我斐波那契數列了！！！
面試中，問得比較多的幾個問題之一，求斐波那契數列f(n)？
畫外音：姐妹篇
《 ofollow,noindex">拜託，面試別再問我TopK了！！！ 》
《 拜託，面試別再讓我數1了！！！ 》
什麼是斐波那契數列？
斐波那契數列是這樣一個數列，它滿足：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (當n>=2時)
到底有幾種方法，這些思路里蘊含的優化思路究竟是怎麼樣的，今天和大家聊一聊。
一、遞迴法
虛擬碼 ：
uint32_t f(uint32_t n){
if(n==0) return 0;
if(n==1) return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}
思路 ：這是一個遞迴的程式碼，非常清晰，直接把斐波那契數列的定義翻譯成了程式碼。
例如 ：
假設要求f(5)
f(5) = f(4) + f(3);
於是會遞迴計算f(4)和f(3);
接著要求f(4)
f(4) = f(3)+ f(2);
於是會遞迴計算f(3)和f(2);
可以看到，計算f(5)和f(4)中都要計算f(3)，但這 兩次f(3)會重複計算 ，這就是遞迴的最大問題，對於同一個f(a)，不能複用。
計算一個f(n)到底需要有多少次遞迴呼叫呢？
我們可以在程式碼裡 加一個計數 驗證一下。
虛擬碼 ：
static uint32_t count=0; // 加一個全域性變數計數
uint32_t f(uint32_t n){
count++; // 遞迴一次，計數加一
if(n==0) return 0;
if(n==1) return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}
實驗的結果 ：
f(5) count = 15
f(10) count = 177
f(15) count = 1K+
f(20) count = 2W+
f(25) count = 24W+
f(30) count = 269W+
f(35) count = 2986W+
f(40) count = 3.3Y+
f(45) … 抱歉，我機器太慢，算不出來
額滴神哪，不是騙我吧！！！
畫外音：
（1）這個count，是函式遞迴了對少次；
（2）f(45)，機器居然算不出來；
（3）對結論有疑問的，自己可以run一把；
啟示 ：
（1）斐波那契數列求解，如果用直接法， 時間複雜度是指數級的 ，不可行；
（2）如果沒有太大的把握， 工程中儘量少使用遞迴 ，容易把自己玩死；
二、正推法
從斐波那契數列的定義：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) n>=2時
可以看出， 每一個新的f(n)，是前兩個舊的f(n-1)和f(n-2)之和 ，一路遞迴下去，最終都將遞迴到f(0)和f(1)上來。
反過來想，我們不倒著f(n),f(n-1),f(n-2)這麼計算，而是f(0),f(1),f(2)…f(n)這麼 正向計算 ，豈不是更快麼？
虛擬碼 ：
uint32_t f(uint32_t n){
uint32_t arr[n];
arr[0]=0;
arr[1]=1;
for(uint32_t i=2;i<=n;i++){
arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
}
return arr[n];
}
這麼正向的計算，只需要一個for迴圈，就能夠計算出f(n)的值， 時間複雜度是O(n) 。
三、通項公式法
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (當n>=2時)
大學學過相關課程，可解出f(n)通項公式。
畫外音：額，是不是有朋友讀了個假大學。
線性遞推數列 ：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
對應的 特徵方程 是：
x^2 = x + 1
求解特徵方程得到：
x1=(1+√5)/2
x2=(1-√5)/2
於是得到：
f(n) = a1(x1)^n + a2(x2)^n
將：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
代入上述通項公式。
於是得到：
a1=1/√5
a2=-1/√5
於是最終得到 ：
f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}
畫外音：別問我為什麼懂這些，我TM作為計算機資訊保安專業，也被數論，有限域，加密解密這些數學學科折磨過。
可忽略上述吹牛*的過程，百度一下能得到答案。
總之，得到了斐波那契數列通項公式：
f(n) = a1(b1)^n + a2(b2)^n
其中a1, b1, a2, b2四個數字都是常數。
想求f(45)，把n=45帶入上述通項公式即可。
那麼，帶入通項公式求解，時間複雜度是多少呢？是O(1)麼？
通項公式的計算，並不能O(1)得到，而是一個a^n，即power(a, n)的求解過程。
那麼，如何求解a的n次方呢？
最粗暴的方法，將a不斷的自乘n次。
虛擬碼 ：
uint64_t power(uint64_t a, uint64_t n){
uint64_t result=a;
for(uint64_t i=1;i<n;i++){
result *=a;
}
return result;
}
很容易知道，a通過for迴圈不斷自乘，求解a^n的 時間複雜度是O(n) 。
你TM在逗我！！！
通過“正推”法，求解f(n)的時間複雜度是O(n)。
樓主搞了這麼久的奇技淫巧，搞什麼“通項公式法”，結果也是個O(n)的方法？？？
不不不，稍安勿躁，上面講的都是思路，求解a^n，可以使用之前文章裡說過的 減治法 。
還記得分治法與減治法的區別麼？
● 減治法，大問題分解為小問題，小問題 只要 遞迴一個分支，例如：二分查詢，隨機選擇
● 分治法。大問題分解為小問題，小問題 都要 迭代各個分支，例如：快速排序
具體在《 拜託，面試別再問我TopK了！！！ 》裡，講 隨機選擇 時詳細介紹過。
a^n 減治法思路 ：
● 當n是 偶數時 ，先求出 r=a^(n/2) ，再做一次r*r的計算，就得到了a^n
，在做一次r*r*a，就得到了a^n
虛擬碼 ：
uint64_t power(uint64_t a, uint64_t n){
if(n==0)return 1;
if(n==1)return a;
uint64_t r=0;
if(n%2){
r=power(a, (n-1)/2);
return r*r*a;
}
else{
r=power(a, n/2);
return r*r;
}
}
每次將計算規模減半，是不是和二分查詢很像？減治法求a^n的 時間複雜度是O(lg(n)) 。
四、查表法
通過之前幾篇演算法文章的套路，大家應該猜得到，一到結尾， 空間換時間 的方法就出場了，如果有相對充裕的記憶體，可以有更快的演算法。
思路 ：f(n)，一旦n的值確定，f(n)也就確定，可以 提前計算好結果陣列 ：
result[0]=0;
result[1]=1;
result[2]=1;
result[3]=2;
result[4]=3;
…
求f(n)時直接打表即可，虛擬碼：
return result[n];
打表的時間複雜度是O(1)。
畫外音：但每期都講打表，太沒有意思了。
五、總結
斐波那契數列，不難；
但其思路有優化過程，並不簡單：
● 遞迴法，f(45)能跑得宕機
● 正推法，O(n)，正推計算，有點意思
● 通項公式，本質轉化為求a^n
● 減治法求a^n，O(lg(n))