高斯濾波對影象方差有什麼影響
首先回憶下均值和方差的定義，若存在$n$個數為$x_1, x_2, \dots, x_n$，則均值$\mu$為：
$$\mu = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
均值衡量的是數值集中在哪個數值附近。令標準差為$\sigma$，則方差$\sigma^2$為：
$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2$$
標準差用於衡量數值分佈距離均值的平均距離，即資料的集中程度。
定性分析
定性地分析，高斯濾波（平滑）對影象進行平滑 ，會讓當前畫素與周圍畫素更加接近 ，畫素間更加接近自然方差會變小。從頻域角度，高斯濾波相當於低通濾波，會移除影象中“突兀”的高頻成分 ，剩下的自然是相對“不突兀”的部分，反映在方差上就會變小。
定量分析
定量地看，若不對影象進行任何假設，認為每個畫素符合獨立同分布 ，其均值和方差分別為$\mu$和$\sigma^2$，對其進行高斯濾波，假定視窗內共有$n$個畫素，灰度值為$x_1, x_2, \dots, x_n$，對應的高斯權重為$g_1, g_2, \dots, g_n$，有$\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0$，則濾波後的當前畫素的值為：
$$y = \sum_{i=1}^{n} g_i x_i$$
$y$的方差即：
$$Var(y) = Var(\sum_{i=1}^{n} g_i x_i)=Var(g_1 x_1 + g_2 x_2 +\dots+g_n x_n)$$
其中當高斯核確定後，$g_1, g_2, \dots, g_n$為常數 ，因為$x_1, x_2, \dots, x_n$相互獨立且同分布 ，則進一步地
$$Var(y) = g_1^2 Var(x_1)+g_2^2Var(x_2)+\dots+g_n^2Var(x_n)=\sigma_2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2$$
由上$\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0$，$\forall g_i <1$，則$\sum_{i=1}^{n}g_i^2 < 1$，所以$Var(y)=\sigma^2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2 < \sigma^2$，即經過高斯濾波後方差變小。
這裡並不限於高斯濾波，對其他平滑濾波器同樣試用——只需滿足上述權重條件即可，即平滑濾波器將降低影象的方差。
當然，也可以從連續角度分析，具體可見參考部分。