資料結構系列 - 樹的轉換
1. 樹的儲存結構
通常，樹的儲存結構有三種，雙親表示法、孩子表示法和孩子兄弟表示法。
（1）雙親表示法
雙親表示法是利用一組連續的儲存單元儲存樹的每個結點，並利用一個指示器表示結點的雙親結點在樹中的位置。
樹的雙親表示法儲存表示描述如下：
#define MaxSize 200
typedef struct PNode /* 雙親表示法的結點定義 */
{
DataType data;
int parent; /* 指示結點的雙親 */
}PNode;
typedef struct
{
PNode node[MaxSize];
int num; /* 結點的個數 */
}PTree;
圖 樹的雙親表示法
（2）孩子表示法
由於樹中每個結點可能有多個孩子，所以自然想到用多重連結串列儲存樹。在這種多重連結串列的每個結點中除了用於存放資料資訊的data域外，還有若干指標域，分別用於指向該結點的孩子結點。但是一棵樹中，不同結點的度數是不同的，那麼每個結點中到底需要多少個指標域呢？我們有如下二種方案：
① 定長結點
即樹中每個結點均按樹的度k來設定指標。n個結點的樹一共有n*k個指標域，而樹中只有n-1條邊，故樹中的空指標數目為kn-(n-1)=n(k-1)+1（k越大，浪費的空間越多）。
②不定長結點
即樹中每個結點按本結點的度來設定指標數，並在結點中增設一個度數域degree指出該結點包含的指標數。各結點不等長，雖然節省了空間，但是給運算帶來不便。
孩子結點表示法的型別定義如下：
//以下的DataType和MaxTreeSize由使用者定義
typedef struct CNode{//子連結串列結點
int child； //孩子結點在向量中對應的序號
struct CNode *next；
}CNode；
typedef struct{
DataType data； //存放樹中結點資料
CNode *firstchild；//孩子連結串列的頭指標
}PTNode；
typedef struct{
PTNode nodes[MaxTreeSize]；
Int n，root； //n為結點總數，root指出根在向量中的位置
}CTree；
Ctree T； //T為孩子連結串列表示
注意：當結點T.nodes[i]為葉子時，其孩子連結串列為空，即T.nodes[i].firstchild=NULL。
（3）孩子兄弟表示法
孩子兄弟表示法，也成為樹的二叉連結串列表示法。孩子兄弟表示法，採用鏈式儲存結構，連結串列由一個數據域和兩個指標域組成。其中，資料域存放結點的資料資訊，一個指標域用來指示結點的第一個孩子結點，另一個指標域用來指示結點的下一個兄弟結點。
圖 孩子兄弟表示法
樹的孩子兄弟表示法的型別定義如下：
/* 孩子兄弟表示法的型別定義 */
typedef struct CSNode
{
DataType data;
struct CSNode *firstchild, *nextsibling; /* 指向第一個孩子和下一個結點 */
}CSNode, *CSTree;
2. 樹、森林的遍歷
（1）樹的遍歷
設樹T如下圖所示，結點R是根，根的子樹從左到右依次為T 1 ，T 2 ，…，T k 。
（1）樹T的前序遍歷定義：
若樹T非空，則：
①訪問根結點R；
②依次前序遍歷根R的各子樹T 1 ，T 2 ，…，T k 。
（2）樹的後序遍歷定義：
若樹T非空，則：
①依次後序遍歷根T的各子樹T l ，T 2 ，…，T k ；
②訪問根結點R。
【例】對下面的(a)圖中的樹進行前序遍歷和後序遍歷，得到的前序序列和後序序列分別是ABCDE和BDCEA。
圖 樹和對應的二叉樹
注意：
① 前序遍歷一棵樹恰好等價於前序遍歷該樹對應的二叉樹
② 後序遍歷樹恰好等價於中序遍歷該樹對應的二叉樹。
（2）森林的遍歷
（1）前序遍歷森林
若森林非空，則：
①訪問森林中第一棵樹的根結點；
②前序遍歷第一棵樹中根結點的各子樹所構成的森林
③前序遍歷除第一棵樹外其它樹構成的森林。
（2）後序遍歷森林
若森林非空，則:
①後序遍歷森林中第一棵樹的根結點的各子樹所構成的森林；
②訪問第一棵樹的根結點；
③後序遍歷除第一棵樹外其它樹構成的森林。
注意：
① 前序遍歷森林等同於前序遍歷該森林對應的二叉樹
② 後序遍歷森林等同於中序遍歷該森林對應的二叉樹
【例】對下面(a)圖中所示的森林進行前序遍歷和後序遍歷，則得到該森林的前序序列和後序序列分別為ABCDEFICJH和BDCAIFJGHE。而(b)圖所示二叉樹的前序序列和中序序列也分別為ABCDEFICJH和BDCAIFJGHE。
圖 森林和對應的二叉樹
③ 當用二叉連結串列作樹和森林的儲存結構時，樹和森林的前序遍歷和後遍歷，可用二叉樹的前序遍歷和中序遍歷演算法來實現。
3. 樹、森林和二叉樹的轉換
樹或森林與二叉樹之間有一個自然的一一對應關係。任何一個森林或一棵樹可惟一地對應到一棵二叉樹；反之，任何一棵二叉樹也能惟一地對應到一個森林或一棵樹。
（1）樹、森林到二叉樹的轉換
* 將樹轉換為二叉樹
樹中每個結點最多隻有一個最左邊的孩子(長子)和一個右鄰的兄弟。按照這種關係很自然地就能將樹轉換成相應的二叉樹：
①在所有兄弟結點之間加一連線；
②對每個結點，除了保留與其長子的連線外，去掉該結點與其它孩子的連線。
【例】下面(a)圖所示的樹可轉換為(c)圖所示的二叉樹。
圖 樹轉化為二叉樹
注意：由於樹根沒有兄弟，故樹轉化為二叉樹後，二叉樹的根結點的右子樹必為空。
* 將一個森林轉換為二叉樹
具體方法是：
① 將森林中的每棵樹變為二叉樹
② 因為轉換所得的二叉樹的根結點的右子樹均為空，故可將各二叉樹的根結點視為兄弟從左至右連在一起，就形成了一棵二叉樹。
【例】下圖中，左邊包含三棵樹的森林可轉換為右邊的二叉樹。
圖 森林轉化為二叉樹
（2） 二叉樹到樹、森林的轉換
把二叉樹轉換到樹和森林自然的方式是：若結點x是雙親y的左孩子，則把x的右孩子，右孩子的右孩子，…，都與y用連線連起來，最後去掉所有雙親到右孩子的連線。
【例】下圖的森林就是由二叉樹轉換成的。
圖 森林轉化為二叉樹