How Many Boyfriends
知乎上看到一個問題，如果一個女人說自己集齊了12個星座的男朋友，那麽她已經搞過多少男人了。
先考慮這個問題的最簡單版本，如果說該女人每一次和12個星座的男人交往的概率相同。
考慮$dp$
註意到這個問題正向十分不好推（因為如果用f表示從開始到當前的狀態的話，只能由當前f推到 對應拓撲圖上後面的f）。
考慮從後面推到前面。
$f_n$ 表示已經搞了 $n$ 種男人，搞到12種男人的期望步數。
這樣 $f_n = \frac{n}{12} f_n + \frac{12-n}{12} f_{n+1} + 1$
化簡得 $f_n = f_{n+1} + \frac{12}{12-n}$
這樣有 $f_n = n H_n ≈ 37.285$ 個男人
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