python之遞歸函數
在函數內部,可以調用其他函數。如果一個函數在內部調用自身本身,這個函數就是遞歸函數。
舉個例子,我們來計算階乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n
,用函數fact(n)
表示,可以看出:
fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n
所以,fact(n)
可以表示為n x fact(n-1)
,只有n=1時需要特殊處理。
於是,fact(n)
用遞歸的方式寫出來就是:
def fact(n):
if n==1:
return 1
return n * fact(n - 1)
上面就是一個遞歸函數。可以試試:
>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
如果我們計算fact(5)
,可以根據函數定義看到計算過程如下:
===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120
遞歸函數的優點是定義簡單,邏輯清晰。理論上,所有的遞歸函數都可以寫成循環的方式,但循環的邏輯不如遞歸清晰。
使用遞歸函數需要註意防止棧溢出。在計算機中,函數調用是通過棧(stack)這種數據結構實現的,每當進入一個函數調用,棧就會加一層棧幀,每當函數返回,棧就會減一層棧幀。由於棧的大小不是無限的,所以,遞歸調用的次數過多,會導致棧溢出。可以試試fact(1000)
:
>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<stdin>", line 4, in fact
...
File "<stdin>", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison
解決遞歸調用棧溢出的方法是通過尾遞歸優化,事實上尾遞歸和循環的效果是一樣的,所以,把循環看成是一種特殊的尾遞歸函數也是可以的。
尾遞歸是指,在函數返回的時候,調用自身本身,並且,return語句不能包含表達式。這樣,編譯器或者解釋器就可以把尾遞歸做優化,使遞歸本身無論調用多少次,都只占用一個棧幀,不會出現棧溢出的情況。
上面的fact(n)
函數由於return n * fact(n - 1)
引入了乘法表達式,所以就不是尾遞歸了。要改成尾遞歸方式,需要多一點代碼,主要是要把每一步的乘積傳入到遞歸函數中:
def fact(n):
return fact_iter(n, 1)
def fact_iter(num, product):
if num == 1:
return product
return fact_iter(num - 1, num * product)
可以看到,return fact_iter(num - 1, num * product)
僅返回遞歸函數本身,num - 1
和num * product
在函數調用前就會被計算,不影響函數調用。
fact(5)
對應的fact_iter(5, 1)
的調用如下:
===> fact_iter(5, 1)
===> fact_iter(4, 5)
===> fact_iter(3, 20)
===> fact_iter(2, 60)
===> fact_iter(1, 120)
===> 120
尾遞歸調用時,如果做了優化,棧不會增長,因此,無論多少次調用也不會導致棧溢出。
遺憾的是,大多數編程語言沒有針對尾遞歸做優化,Python解釋器也沒有做優化,所以,即使把上面的fact(n)
函數改成尾遞歸方式,也會導致棧溢出。
小結
使用遞歸函數的優點是邏輯簡單清晰,缺點是過深的調用會導致棧溢出。
針對尾遞歸優化的語言可以通過尾遞歸防止棧溢出。尾遞歸事實上和循環是等價的,沒有循環語句的編程語言只能通過尾遞歸實現循環。
Python標準的解釋器沒有針對尾遞歸做優化,任何遞歸函數都存在棧溢出的問題。
python之遞歸函數