第一章 隨機事件和概率
第一章 隨機事件和概率
§ 1.1 隨機事件和樣本空間
概率論的任務是尋求隨機現象發生的可能性，並對這種可能性的大小給出度量方式及其算法
隨機試驗是對隨機現象的觀察
① 可在相同條件下重復進行
② 每次試驗可能出現不同的結果，最終出現哪種結果，試驗之前不能確定
③事先知道試驗可能出現的全部結果
隨機試驗的每一個可能結果成為一個隨機事件，簡稱事件
事件分為基本事件和復合事件。又可分為必然事件（記做Ω
樣本空間：一個隨機試驗E產生的所有基本事件構成的集合稱為樣本空間（記做Ω），稱其中元素為一個樣本點，
記做ω。 Ω={ω}。
§ 1.2 事件的關系和運算
① 事件的包含與相等
② 事件的和（並）與積（交）
③ 互不相容事件與對立事件
設A、B為兩事件，若A和B不能同時發生，即AB=，則稱A和B是互不相容事件或互斥事件
若A、B互不相容，且他們的和為必然事件，即AB=及A∪B=Ω，則稱A和B為對立事件或互為逆事件
④ 兩事件的差
設A、B為兩事件，“事件A發生而事件B不發生”是一個事件，稱為事件A和B的差事件，記做A-B
事件的運算性質：
① 交換律：A∪B=B∪A，AB=BA;
② 結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,(AB)C=A(BC);
③ 分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC),
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C);
④ 德摩根（De Morgan）對偶律：
（A∪B）的逆=A的逆交B的逆； AB的逆=A的逆∪B的逆
§ 1.3 事件的概率及其計算
概率的統計定義——定義1.1： P（A）≈n/N
① 非負性 ② 規範性 ③ 有限可加性
古典型概率：① 有限性 ②等可能性
P（A）=（A中所有樣本點數）/Ω中樣本點總數=m/n
n的計數規則：加法原理、乘法原理
超幾何分布
幾何型概率
§ 1.4 概率的公理化定義
設有隨機試驗E，E的樣本空間為Ω，記包括Ω在內的E的所有事件組成的集合族為￡，若對￡中的任一個事件A
都能賦予一個實數P（A），且P（A）滿足條件：
① 非負性：0<=P(A)<=1
② 規範性：P（Ω）=1
③ 可列可加性： 對兩兩互不相容的事件A,A,A…,有
P（（i=1，∞）∑Ai）=(i=1，∞)∑P（Ai）
則稱P（A）為事件A的概率
性質1：不可能事件概率為0，即P（）=0
性質2: 有限可加性
性質3：（逆事件）P（A的逆）=1-P（A）
性質4： P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）
性質5： （加法公式）設A、B、C為任意三個事件，P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
§ 1.5 條件概率和事件的獨立性
條件概率：P(A|B)=P(AB)/P(B)
非負性：0<=P(A|B)<=1
規範性：P(Ω|B)=1
可列可加性：
P（A的逆|B）=1-P(A|B)
乘法公式： P（AB）=P(A|B)P(B) 當P（B）>0時
P(AB)=P(B|A)P(A)
全概率公式（定理1.1）：設樣本空間Ω的一個劃分為A,A,A…，且P（Ai）>0,i=1,2,...，n,則對任一事件B
含於Ω，有 P（B）=（i=1，n）∑P（B|Ai）P（Ai）
貝葉斯公式： 設A,A,A… 為一個樣本空間Ω的一個劃分，且P（Ai）>0,i=1,2,3,...,n.對任意的隨機事件B
含於Ω，若P（B）>0,則P（Ai|B）=P（B|Ai）P（Ai）/（（j=1,n）∑P(B|Aj)P(Aj)）
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