Part 1:杜教篩進階
在了解了杜教篩基本應用，如$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$的求法後，我們看一些杜教篩較難的應用。
求$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i$
考慮把它與$id$函數狄利克雷卷積後的前綴和。
$$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac id=\sum_{i=1}^ni^2$$枚舉$T=\frac id$，原式化為
$$\sum_{T=1}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}\varphi(d)*d=\sum_{i=1}^ni^2$$移項，得
$$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{T=2}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}\varphi(d)*d$$右邊的$\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}\varphi(d)*d$遞歸求就行了。
總結：當遇到一些不好求前綴和的函數時，一般將其與一個易於求前綴和的函數進行狄利克雷卷積，得到另一個易於求前綴和的函數，然後通過簡單的數學變換，得到可以遞歸的式子。
Part 2:洲閣篩講解

洲閣篩的簡單應用。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=316228,p=1000003;
int T,e,tt,t2,pr[N],hd[p],nx[p],w[p],mx[N],ci[N],s[N],D[p];
ll n,a1,to[p],d[p],g[p],f[N],f2[p],sf[N];
 
void ins(int x,ll y) {int h=y%p; to[++e]=y,w[e]=x,nx[e]=hd[h],hd[h]=e;}
int qr(ll x) {for(int i=hd[x%p];i;i=nx[i]) if(to[i]==x) return w[i]; return 0;}

void sol() {
    e=t2=0;
    for(ll i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1) hd[n/i%p]=0;
    for(ll i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1) ins(++t2,n/i),d[t2]=g[t2]=n/i,D[t2]=0;
    for(int
 
 i=1;i<=tt;i++)
    for(int j=1;j<=t2&&(ll)pr[i]*pr[i]<=d[j];j++) {
        int k=qr(d[j]/pr[i]); g[j]-=g[k]-(i-1-D[k]),D[j]=i;
    }
}
void sol2() {
    for(int i=1;i<=t2;i++) f2[t2]=1;
    for(int i=tt;i;i--)
    for(int j=1;j<=t2&&(ll)pr[i]*pr[i]<=d[j];j++) {
        if(pr[i+1]>d[j]) f2[j]=1;
        else if((ll)pr[i+1]*pr[i+1]>d[j]) f2[j]=(s[min(N-1LL,d[j])]-s[pr[i+1]-1])*4+1;
        for(ll pi=pr[i],c=1;d[j]>=pi;pi*=pr[i],c++) {
            ll k=d[j]/pi,k2;
            if(pr[i+1]>k) k2=1;
            else if((ll)pr[i+1]*pr[i+1]>k) k2=(s[min(N-1LL,k)]-s[pr[i+1]-1])*4+1;
            else k2=f2[qr(k)];
            f2[j]+=k2*(3*c+1);
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d",&T),f[1]=sf[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) {
        s[i]=s[i-1]+!f[i];
        if(!f[i]) pr[++tt]=i,f[i]=4,mx[i]=i,ci[i]=1;
        for(int j=1,k;j<=tt&&(k=i*pr[j])<N;j++) {
            if(i%pr[j]) f[k]=f[i]*4,mx[k]=pr[j],ci[k]=1;
            else {f[k]=f[i/mx[i]]*(ci[i]*3+4),mx[k]=mx[i]*pr[j],ci[k]=ci[i]+1; break;}
        }
        sf[i]=sf[i-1]+f[i];
    }
    pr[tt+1]=316241;
    while(T--) {
        scanf("%lld",&n);
        if(n<N) {printf("%lld\n",sf[n]); continue;}
        a1=0,sol(),sol2();
        for(int i=1,r;i<N;i=r+1) {
            int j=qr(n/i); ll k;
            if(pr[tt+1]>n/i) k=1;
            else k=g[j]-(tt-D[j]);
            a1+=(sf[r=min(N-1LL,n/(n/i))]-sf[i-1])*(k-1)*4;
        }
        printf("%lld\n",a1+f2[1]);
    }
    return 0;
}

杜教篩進階+洲閣篩講解+SPOJ divcnt3