KL距離，Kullback-Leibler Divergence
http://www.cnblogs.com/ywl925/p/3554502.html
http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/4910218.html
http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/44657745
KL距離，是Kullback-Leibler差異（Kullback-Leibler Divergence）的簡稱，也叫做相對熵（Relative Entropy）。它衡量的是相同事件空間裏的兩個概率分布的差異情況。其物理意義是：在相同事件空間裏，概率分布P(x)的事件空間，若用概率分布Q（x）編碼時，平均每個基本事件（符號）編碼長度增加了多少比特。我們用D（P||Q）表示KL距離，計算公式如下：
當兩個概率分布完全相同時，即P(x)=Q(X)，其相對熵為0 。我們知道，概率分布P(X)的信息熵為：
其表示，概率分布P(x)編碼時，平均每個基本事件（符號）至少需要多少比特編碼。通過信息熵的學習，我們知道不存在其他比按照本身概率分布更好的編碼方式了，所以D(P||Q）始終大於等於0的。雖然KL被稱為距離，但是其不滿足距離定義的三個條件：1）非負性；2）對稱性（不滿足）；3）三角不等式（不滿足）。
我們以一個例子來說明，KL距離的含義。
假如一個字符發射器，隨機發出0和1兩種字符，真實發出概率分布為A，但實際不知道A的具體分布。現在通過觀察，得到概率分布B與C。各個分布的具體情況如下：
A(0)=1/2，A(1)=1/2
B(0)=1/4，B(1)=3/4
C(0)=1/8，C(1)=7/8
那麽，我們可以計算出得到如下：
也即，這兩種方式來進行編碼，其結果都使得平均編碼長度增加了。我們也可以看出，按照概率分布B進行編碼，要比按照C進行編碼，平均每個符號增加的比特數目少。從分布上也可以看出，實際上B要比C更接近實際分布。
如果實際分布為C，而我們用A分布來編碼這個字符發射器的每個字符，那麽同樣我們可以得到如下：
再次，我們進一步驗證了這樣的結論：對一個信息源編碼，按照其本身的概率分布進行編碼，每個字符的平均比特數目最少。這就是信息熵的概念，衡量了信息源本身的不確定性。另外，可以看出KL距離不滿足對稱性，即D(P||Q)不一定等於D(Q||P)。
當然，我們也可以驗證KL距離不滿足三角不等式條件。
上面的三個概率分布，D(B||C)=1/4log2+3/4log(6/7)。可以得到：D(A||C) - (D(A||B)+ D(B||C)) =1/2log2+1/4log(7/6)>0，這裏驗證了KL距離不滿足三角不等式條件。所以KL距離，並不是一種距離度量方式，雖然它有這樣的學名。
其實，KL距離在信息檢索領域，以及統計自然語言方面有重要的運用。我們將會把它留在以後的章節中介紹。
其他相關鏈接：http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback-Leibler_divergence
http://hi.baidu.com/shdren09/item/e6441ec2bd495b0e0ad93aca
利用信息論的方法可以進行一些簡單的自然語言處理
比如利用相對熵進行分類或者是利用相對熵來衡量兩個隨機分布的差距，當兩個隨機分布相同時，其相對熵為0.當兩個隨機分布的差別增加時，器相對熵也增加。我們下面的實驗是為了橫量概率分布的差異。
試驗方法、要求和材料
要求：
1.任意摘錄一段文字，統計這段文字中所有字符的相對頻率。假設這些相對頻率就是這些字符的概率（即用相對頻率代替概率）；
2.另取一段文字，按同樣方法計算字符分布概率；
3.計算兩段文字中字符分布的KL距離；
4.舉例說明（任意找兩個分布p和q）,KL距離是不對稱的，即D(p//q)!=D(q//p);
方法：
D（p//q）=sum(p(x)*log(p(x)/q(x)))。其中p(x)和q(x)為兩個概率分布
約定 0*log(0/q(x))=0;p(x)*log(p(x)/0)=infinity;
具體實驗可參考：http://www.cnblogs.com/finallyliuyu/archive/2010/03/12/1684015.html
相對熵（relative entropy）又稱為KL散度（Kullback–Leibler divergence，簡稱KLD），信息散度（information divergence），信息增益（information gain）。
KL散度是兩個概率分布P和Q差別的非對稱性的度量。
KL散度是用來度量使用基於Q的編碼來編碼來自P的樣本平均所需的額外的比特個數。 典型情況下，P表示數據的真實分布，Q表示數據的理論分布，模型分布，或P的近似分布。
根據shannon的信息論，給定一個字符集的概率分布，我們可以設計一種編碼，使得表示該字符集組成的字符串平均需要的比特數最少。假設這個字符集是X，對x∈X，其出現概率為P(x)，那麽其最優編碼平均需要的比特數等於這個字符集的熵：
H(X)=∑x∈XP(x)log[1/P(x)]
在同樣的字符集上，假設存在另一個概率分布Q(X)。如果用概率分布P(X)的最優編碼（即字符x的編碼長度等於log[1/P(x)]），來為符合分布Q(X)的字符編碼，那麽表示這些字符就會比理想情況多用一些比特數。KL-divergence就是用來衡量這種情況下平均每個字符多用的比特數，因此可以用來衡量兩個分布的距離。即：
DKL(Q||P)=∑x∈XQ(x)[log(1/P(x))] - ∑x∈XQ(x)[log[1/Q(x)]]=∑x∈XQ(x)log[Q(x)/P(x)]
由於-log(u)是凸函數，因此有下面的不等式
DKL(Q||P) = -∑x∈XQ(x)log[P(x)/Q(x)] = E[-logP(x)/Q(x)] ≥ -logE[P(x)/Q(x)] = - log∑x∈XQ(x)P(x)/Q(x) = 0
即KL-divergence始終是大於等於0的。當且僅當兩分布相同時，KL-divergence等於0。
===========================
舉一個實際的例子吧：比如有四個類別，一個方法A得到四個類別的概率分別是0.1,0.2,0.3,0.4。另一種方法B（或者說是事實情況）是得到四個類別的概率分別是0.4,0.3,0.2,0.1,那麽這兩個分布的KL-Distance(A,B)=0.1*log(0.1/0.4)+0.2*log(0.2/0.3)+0.3*log(0.3/0.2)+0.4*log(0.4/0.1)
這個裏面有正的，有負的，可以證明KL-Distance()>=0.
從上面可以看出， KL散度是不對稱的。即KL-Distance(A,B)!=KL-Distance(B,A)
KL散度是不對稱的，當然，如果希望把它變對稱，
Ds(p1, p2) = [D(p1, p2) + D(p2, p1)] / 2.
二、第二種理解
今天開始來講相對熵，我們知道信息熵反應了一個系統的有序化程度，一個系統越是有序，那麽它的信息熵就越低，反之就越高。下面是熵的定義
如果一個隨機變量
的可能取值為
，對應的概率為
，則隨機變量
的熵定義為
有了信息熵的定義，接下來開始學習相對熵。
1. 相對熵的認識
相對熵又稱互熵，交叉熵，鑒別信息，Kullback熵，Kullback-Leible散度（即KL散度）等。設
和
是
取值的兩個概率概率分布，則
對
的相對熵為
在一定程度上，熵可以度量兩個隨機變量的距離。KL散度是兩個概率分布P和Q差別的非對稱性的度量。KL散度是
用來度量使用基於Q的編碼來編碼來自P的樣本平均所需的額外的位元數。 典型情況下，P表示數據的真實分布，Q
表示數據的理論分布，模型分布，或P的近似分布。
2. 相對熵的性質
相對熵（KL散度）有兩個主要的性質。如下
（1）盡管KL散度從直觀上是個度量或距離函數，但它並不是一個真正的度量或者距離，因為它不具有對稱性，即
（2）相對熵的值為非負值，即
在證明之前，需要認識一個重要的不等式，叫做吉布斯不等式。內容如下
3. 相對熵的應用
相對熵可以衡量兩個隨機分布之間的距離，當兩個隨機分布相同時，它們的相對熵為零，當兩個隨機分布的差別增
大時，它們的相對熵也會增大。所以相對熵（KL散度）可以用於比較文本的相似度，先統計出詞的頻率，然後計算
KL散度就行了。另外，在多指標系統評估中，指標權重分配是一個重點和難點，通過相對熵可以處理。
三、用在CF中
第一，KLD需要概率（臉頰和1），但是用評分。
第二，後面兩項的作用。
今天開始來講相對熵，我們知道信息熵反應了一個系統的有序化程度，一個系統越是有序，那麽它的信息熵就越低，反
之就越高。下面是熵的定義
如果一個隨機變量的可能取值為，對應的概率為，則隨機變
量的熵定義為
有了信息熵的定義，接下來開始學習相對熵。
Contents
1. 相對熵的認識
2. 相對熵的性質
3. 相對熵的應用
1. 相對熵的認識
相對熵又稱互熵，交叉熵，鑒別信息，Kullback熵，Kullback-Leible散度（即KL散度）等。設和
是取值的兩個概率概率分布，則對的相對熵為
在一定程度上，熵可以度量兩個隨機變量的距離。KL散度是兩個概率分布P和Q差別的非對稱性的度量。KL散度是
用來度量使用基於Q的編碼來編碼來自P的樣本平均所需的額外的位元數。 典型情況下，P表示數據的真實分布，Q
表示數據的理論分布，模型分布，或P的近似分布。
2. 相對熵的性質
相對熵（KL散度）有兩個主要的性質。如下
（1）盡管KL散度從直觀上是個度量或距離函數，但它並不是一個真正的度量或者距離，因為它不具有對稱性，即
（2）相對熵的值為非負值，即
在證明之前，需要認識一個重要的不等式，叫做吉布斯不等式。內容如下
3. 相對熵的應用
相對熵可以衡量兩個隨機分布之間的距離，當兩個隨機分布相同時，它們的相對熵為零，當兩個隨機分布的差別增
大時，它們的相對熵也會增大。所以相對熵（KL散度）可以用於比較文本的相似度，先統計出詞的頻率，然後計算
KL散度就行了。另外，在多指標系統評估中，指標權重分配是一個重點和難點，通過相對熵可以處理。
在Julia中，有一個KLDivergence包，用來計算兩個分布之間的K-L距離，它需要依賴Distributions包，用
法詳見：https://github.com/johnmyleswhite/KLDivergence.jl
KL距離，Kullback-Leibler Divergence