題目描述

給出一個長度為 的正整數序列Ci，求一個子序列，使得原序列中任意長度為 的子串中被選出的元素不超過K(K,M<=100) 個，並且選出的元素之和最大。

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第1行三個數N,m,k。 接下來N行，每行一個字符串表示Ci。

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最大和。

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10 5 3
4 4 4 6 6 6 6 6 4 4

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30

題解

線性規劃與費用流

關於線性規劃與費用流的具體講解參見 bzoj1061 。

這道題和那道差不多，都是給出一大堆限制條件，每個變量在限制條件中的出現是連續的。

所以我們可以按照那道題的思路來做。

原始限制條件是$\begin{cases}0\le x_i\le1\\x_1+x_2+...+x_m\le k\\x_2+x_3+...+x_{m+1}\le k\\...\\x_{n-m+1}+x_{n-m+2}+...+x_n\le k\end{cases}$，

轉化為相等關系為$\begin{cases}0\le x_i\le1\\y_i\ge0\\x_1+x_2+...+x_m+y_1\le k\\x_2+x_3+...+x_{m+1}+y_2\le k\\...\\x_{n-m+1}+x_{n-m+2}+...+x_n+y_{n-m+1}\le k\end{cases}$，

添加恒等關系0=0，上下差分並移項得$\begin{cases}x_1+x_2+...+x_m+y_1-k=0\\x_{m+1}-x_1+y_2-y_1=0\\x_{m+2}-x_2+y_3-y_2=0\\...\\x_{n-1}-x_{n-m-1}+y_{n-m}-y_{n-m-1}=0\\x_n-x_{n-m}+y_{n-m+1}-y_{n-m}=0\\-x_{n-m+1}-x_{n-m+2}-...-x_n-y_{n-m+1}+k=0\end{cases}$。

根據這個建圖，將這n-m+2個限制條件看作點，那麽S->1，容量為k，費用為0；n-m+2->T，容量為k，費用為0；i->i+1，容量為inf，費用為0；對於每個變量xi，判斷它系數為+1的位置和系數為-1的位置，+1向-1連邊。容量為1，費用為ci。

然後跑最大費用最大流出解，具體地，將費用取相反數，跑最小費用最大流，再反過來即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define N 1500
#define M 30000
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
queue<int> q;
int head[N] , to[M] , val[M] , cost[M] , next[M] , cnt = 1 , s , t , dis[N] , from[N] , pre[N];
void add(int x , int y , int v , int c)
{
	to[++cnt] = y , val[cnt] = v , cost[cnt] = c , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
	to[++cnt] = x , val[cnt] = 0 , cost[cnt] = -c , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;
}
bool spfa()
{
	int x , i;
	memset(from , -1 , sizeof(from));
	memset(dis , 0x3f , sizeof(dis));
	dis[s] = 0 , q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		x = q.front() , q.pop();
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
			if(val[i] && dis[to[i]] > dis[x] + cost[i])
				dis[to[i]] = dis[x] + cost[i] , from[to[i]] = x , pre[to[i]] = i , q.push(to[i]);
	}
	return ~from[t];
}
int mincost()
{
	int ans = 0 , i , k;
	while(spfa())
	{
		k = inf;
		for(i = t ; i != s ; i = from[i]) k = min(k , val[pre[i]]);
		ans += k * dis[t];
		for(i = t ; i != s ; i = from[i]) val[pre[i]] -= k , val[pre[i] ^ 1] += k;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int n , m , k , i , x;
	scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) , s = 0 , t = n - m + 3;
	add(s , 1 , k , 0) , add(n - m + 2 , t , k , 0);
	for(i = 1 ; i <= n - m + 1 ; i ++ ) add(i , i + 1 , inf , 0);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		scanf("%d" , &x);
		if(i <= m) add(1 , i + 1 , 1 , -x);
		else if(i > n - m) add(i - m + 1 , n - m + 2 , 1 , -x);
		else add(i - m + 1 , i + 1 , 1 , -x);
	}
	printf("%d\n" , -mincost());
	return 0;
}

【bzoj1283】序列 線性規劃與費用流