暑假NOIP期末考試【1】—— Phantom
Phantom
?題目名稱： phantom
?時間限制：1 秒
?空間限制：256 MiB
題目描寫敘述
在一個無限大的棋盤上。排列著 n * n 枚棋子，形成一個 n 行 n 列的方陣。棋子能夠橫向或者縱向移動，移動方式是越過一個相鄰的棋子，落入同一方向上的下一個空暇的格子裏，同一時候。移除被越過的棋子。
如今。我們想知道，是否有可能通過若幹次操作。使得棋盤上僅剩一枚棋子。
比如。當 n = 2 時，有例如以下操作方法：
…. …. …. ….
.OO. => …O => …O => ….
.OO. .OO. …O ….
…. …. …. …O
輸入格式
輸入文件的第一行包括一個整數，表示測試數據的數目。
每一個測試數據占一行，包括單獨的一個整數 n。
輸出格式
對於每一個測試數據。在單獨的一行內輸出答案。
假設有可能使得棋盤上僅剩一枚棋子，輸出 YES ；否則輸出 NO 。
例子輸入2
2
3
例子輸出YES
NO
數據範圍與約定
?對於 30% 的數據，n ≤ 6。
?對於 100% 的數據，n ≤ 1 000 000 000，測試數據不超過 1000 組。
對於這道題非常多人最初的感覺就是搜索嘛，只是看看這大數據，n<=1 000 000 000,怎麽可能。
僅僅能是O（1）的時間復雜度啊。所以。直覺告訴我。或者說是個人都會知道，這道題是一道有規律可循的題。。
All jokes aside,先說一下老師介紹的第一種方法：
對於一個N=2的4*4矩陣來說。我們非常easy的就能把它變成我們想要的情況，那麽是不是能夠把它作為一個基本模型，或者說讓它成為我們的期望裝態，這樣的思想相似於數學中的“歸納法”(這一點能夠好好體會一下)。
經過以上的分析後，如今我們能夠動手實踐一下了。
有句話叫什麽來著“失敗是通往成功的必經之路”，所以你會發現，當N=3的時候，怎麽也不能實現。當時當你畫4*4的情況的時候。或許在某種情況會出現一個完整的2*2。而這正是你想要的。
而我們知道僅僅剩下一個點當然也是能夠的。所以同理，當N=5的時候就會出現以下的情況：
這時候大概就會找到一些規律了，也就是我們都是每三個三個消掉的。似乎僅僅要有三個連續的就能夠弄掉，只是其實並不是這樣簡單，條件是得出現一個‘L’形狀，也就是說這三個點的兩端的兩邊至少要有一個點。這樣這三個點才幹夠消掉。
並且我們舉得4,5這兩個例子大能夠概括全部的情況（事實證明。不要問我為什麽，自己試試就知道了）。
就像這個樣子，對於隨意的N（也並不是隨意），都能夠轉化為4或5的形式。進而轉化到我們的基本模型，1或2。
但到這裏。可能你還會有些疑問，或許你還在問為什麽為什麽，由於我們越過了一個非常奇妙的數字，3。
由於。假設依照之前的思想，那麽三是不是應該就沒了？——只是這當然是不可能的啊，為什麽呢？再花哨的語言也說不清事物的本質，因此這樣的問題還是須要自己實踐一下，這樣自然會明確。
這回能夠擴展到隨意的N了，對於一個（N^2）不能被3整除的數，我們都會處理。而能被3整除的數終於不能化成1或2，所以不能夠。
Ex——方法2
- 之前就說過，異或是一個非常奇妙的東西。在計算機中。異或屬於位運算的一種。並且利用二進制能夠非常快的計算出來。
只是我們在這道題用的並不是這個性質，而是以下的這三種關系：
-
1^2=3
2^3=1
3^1=2
也就是說，1,2,3的異或是互相轉換的。
這樣，我們能夠把每一個格子標號
以N=6為例
1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 1 2
2 3 1 2 3 1
1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 1 2
2 3 1 2 3 1
無論你在這個矩陣中找到了什麽規律。我想告訴你的是。每一個點的上下左右都是兩個不同的數字，這樣有什麽優點呢？想想看。我們終於的狀態是什麽？1或者2或者3對吧，而我們知道如今的總亦或值為0。所以無論我們如何移動都不能出現單獨的一個數字。
而這個結論正好與第一個方法中的能被3整除相調和。
PS：異或的性質非常重要，理解深刻的話對於做題來講十分實用，假設一道題你能想出來能夠用如異或一樣的位運算方法的時候，你就是神犇。
最形象的方法——方法3
用最本質的想法， OO* —>**O 是我們移動的根本，那麽是否我們能夠抽象出一個模型（以5為例）：
為什麽這樣做呢？能夠看到。當我每次移動一步的時候，每一個顏色的點都會相應的添加一個或者降低一個。假設這個能夠理解的話。那麽我說它們的奇偶性都會隨之改變。且同一時候變為相反的狀態，依照上圖：
BLUE： 8
BLACK: 8
WHILE：9
也就是”偶偶奇“，而我們的目的狀態就是”001“—>‘偶偶奇’。
非常顯然僅僅要我的黑、藍、白三個數目不相等就好。這樣就非常easy理解為什麽能被3整除就不行了，由於在3*3的格子中，黑藍白三種顏色的數目始終是相等的。因此這樣的方法就非常好地攻克了我們方法1中可能存在疑惑的地方。
所以就非常好理解了為什麽N%3==0就能夠，else 不行。
Code：
太簡單了，就不貼了。
Summary：
做題前一定要看看數據範圍。往往數據範圍就能提示你改用什麽算法來作答，同一時候思想不能死板，不要往模板題上想，靈感可能就在電光火石間產生。
暑假NOIP期末考試【1】—— Phantom