樹

定義

樹是n(n≥0)個結點的有限集，它或為空樹(n=0)。或為非空樹

非空樹T滿足下面條件：

(1) 有且僅有一個稱為根的結點；

(2)除根結點以外的其余結點可分為m(m>0)個互補相交的有限集T1,T2,…Tm,當中每個集合本身又是一棵樹，而且稱為根的子樹。

                         空樹

                       一般的樹

基本術語

根———即根結點(沒有前驅)

葉子———即終端結點(沒有後繼)

森林———指m棵不相交的樹的集合

有序樹———結點各子樹從左至右有序，不能互換

無序樹———結點各子樹可互換位置。

雙親———即上層的那個結點(直接前驅)

孩子———即下層結點的子樹的根(直接後繼)

兄弟———同一雙親下的同層結點(孩子之間互稱為兄弟)

堂兄弟———即雙親位於同一層的結點(但並不是同一雙親)

祖先———即從根到該結點所經分支的全部結點

子孫———即該結點下層子樹種的任一結點

結點———即樹的數據元素

結點的度———結點掛接的子樹數

結點的層次———從根到該結點的層數(根結點算第一層)

終端結點———即度為0的結點，即葉子

分支結點———即度不為0的結點(也稱為內部結點)

樹的度———全部結點度中的最大值

樹的深度———指全部結點中最大的層數(或高度)

二叉樹

二叉樹是一種特殊的樹結構，普通樹若不轉化成二叉樹，則運算非常難實現

為什麽要重點研究二叉樹呢？

• 二叉樹的結構最簡單，規律性最強

• 全部的樹都能轉為唯一相應的二叉樹，不失一般性。

定義：

每個節點至多有兩個子樹。

基本特點：

• 結點的度小於等於2

• 有序樹(子樹有序。不能顛倒)
  

                       二叉樹的五種形態
  

二叉樹的性質

性質1 ： 一棵非空二叉樹的第i層上最多有2^i-1個結點(i≥1)。

性質2 ：若規定空樹的深度為0，則深度為k的二叉樹最多有(2^k)-1個結點

(k≥0)。

性質3： 具有n個結點的全然二叉樹的深度k為log2n+1。

性質4 ：對於一棵非空二叉樹。假設度為0的結點數目為n0，度為2的結點數目為n2。則有n0= n2+1。

性質5 ：對於具有n個結點的全然二叉樹，假設依照從上到下和從左到右的順序對全部結點從1開始編號，則對於序號為i的結點，有：

1. 假設i>1，則序號為i的結點的雙親結點的序號為i/2(“/”表示整除)。假設i=1，則該結點是根結點，無雙親結點。

2. 假設2i≤n，則該結點的左孩子結點的序號為2i；若2i>n。則該結點無左孩子。

3. 假設2i+1≤n。則該結點的右孩子結點的序號為2i+1。若2i+1>n，則該結點無右孩子。

滿二叉樹：一棵深度為k且有2k-1個結點的二叉樹。

（意思是樹上掛滿了結點）

全然二叉樹：深度為k的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每個結點都與深度為k的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一相應(意思是僅僅有最後一層葉子不滿，且全部集中在左邊)

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樹與二叉樹(一)