本題適合小學四年級以上數學愛好者解答。

問題：

觀察以下數列：

$2$, $3$, $6$, $1$, $8$, $6$, $8$, $\cdots\cdots\cdots$,

其前面幾項的構成規律是：

$2\times3 = 6$, $3\times6 = 18$, $6\times1 = 6$, $1\times8 = 8$,

證明：數字 $5$, $7$, $9$ 永遠不會出現在這個數列中。

解答：

我們註意到需要證明的三個數字都是奇數，因此考慮奇偶分析。

我們先證明，在此數列中不可能連續出現兩個奇數。

假設 $x$, $y$ 是兩個連續出現的奇數，那麽只有兩種情況：

a. 存在另外兩個連續出現的奇數 $a$, $b$, 使得 $a \cdot b = \overline{xy}$. （如：$5\times7 = 35$）

b. 存在另外兩個連續出現的奇數 $c$, $d$, 使得 $c\cdot d = x$. （如：$1\times 3 = 3$）

因此，如果連續出現了兩個奇數 $x$, $y$，那麽在這兩個奇數之前一定還存在連續出現的兩個奇數 $a$, $b$ 或 $c$, $d$.

由此倒推回去，這個數列前三項中必有兩項是奇數。矛盾！（前三項為 $2$, $3$, $6$）

至此，我們證明了此數列中不可能連續出現兩個奇數。

接下來，我們考慮數字 $9$. 因為不可能連續出現兩個奇數，所以數字 $9$ 只能以 $\overline{9z}$ 形式出現，即有兩個一位數字之乘積不小於 $90$，這顯然不可能。

因此，此數列中不會出現數字 $9$.

由於不能連續出現兩個奇數，那麽如果出現數字 $7$ 的話只能是 $8\times9 = 72$（即不可能是 $1\times7 = 7$, $3\times9 = 27$），但是 $9$ 不會出現在數列中。

因此，此數列中也不會出現數字 $7$.

最後我們考慮數字 $5$。由於不能連續出現兩個奇數，則數字 $5$ 只能出現於 $7\times8 = 56$, $6\times9 = 54$，而數字 $7$, $9$ 都不會出現在數列中。

因此，此數列中也不會出現數字 $5$.

Q$\cdot$E$\cdot$D

作者簡介：

趙胤，海歸雙碩士（數學建模 & 數學教育），中國數學奧林匹克一級教練員，原北京四中數學競賽教練員，目前擔任猿輔導數學競賽教學產品中心副總監。

主要研究方向包括：數學建模（機器學習算法）與數學奧林匹克教育（解題研究與教學法），以第一作者身份發表英文論文5篇。

在10余年的教學生涯中，培養了300余名國內外數學競賽獲獎選手，包括華杯賽、小奧賽、全國初高中數學聯賽一等獎，全美數學競賽（AMC）、美國數學邀請賽（AIME）滿分等。

聯系作者：[email protected]

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