莫比烏斯反演在許多情況下可以簡化運算。

定理：F（n）和f（n）是定義在非負整數集合上的兩個函數，並且滿足條件F(n)=∑d|n f(d)。

附：∑d|n 的意思是對所有n的因子d求和。

那麽，我們得到結論：

　　　　f(n)=∑d|n μ(d)F(n/d)

在上面的公式中有一個μ(d)函數（莫比烏斯函數），它的定義如下：

(1) 若d==1，那麽μ(d)=1;

(2) 若d=p1p2p3...pk,pi均為互異素數，那麽μ(d)=(-1)k次方；

(3) 其他情況下μ(d)=0；

對於μ(d)函數，它有如下常見性質：

(1) 對任意正整數n有：∑d|n μ(d)= 1 if(n==1) else if(n>1) =0

(2) 對任意正整數n有：∑d|n μ(d)/d = φ(n)/n

用線性篩法求莫比烏斯函數的代碼:

bool vis[10045];//標記數組，是否是素數 
int n,cnt,prime[10045],mu[10045]；//n是範圍,cnt是素數個數，prime是素數數組，mu是該數的莫比烏斯函數 
void init()
{
    mu[1]=1;//1的莫比烏斯函數是1 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])//如果是素數 
        {
            mu[i]=-1;//k=1，所以該數的莫比烏斯函數是-1 
            prime[++cnt]=i;//
 
記錄素數 
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)//遍歷之前的素數，並且i*prime[j]在n的範圍內 
        {
            vis[i*prime[j]]=1;//合數 
            if(i%prime[j])//如果i是素數
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];//k+1,所以莫比烏斯函數取相反數 
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=0;//其他情況莫比烏斯函數為0 
 

                break;
            }
        }
    }
}

接下來是莫比烏斯反演定理的證明：

恒等變形得：

因為之前證明的這個定理：

所以當且僅當nk=1，即n=k時，∑d|nkμ(d)=1,其余時候等於0。
故

莫比烏斯反演