3.1　頂與底

一. 定義

　　整數是離散數學的支柱.

　　我們很多時候, 都要將分數轉化為整數.

　　為此, 我們定義了兩個整值函數: 頂, 底.

　　$\lceil x\rceil$ 表示 $\ge x$ 的最小整數, 讀作 " $x$ 的頂 " .

　　$\lfloor x\rfloor$ 表示 $\le x$ 的最大整數, 讀作 " $x$ 的底 " .

　　從多個角度定義一個概念, 這樣有利於對概念的理解和應用.

　　我們嘗試從幾何上解釋它.

　　給定一條自下而上的數軸.

　　$\lceil x\rceil$ 就是從 $x$ 點出發, 向上掃描找到的第一個整點.

　　$\lfloor x\rfloor$ 就是從 $x$ 點出發, 向下掃描找到的第一個整點.

　　幾何上還有第二個解釋, 我們嘗試建立平面直角坐標系.

二. 性質與應用

　　我們要弄清整值函數的性質, 並用一些簡單的例子加以理解, 進而有更深遠的應用.

　　出於應用的目的, 一些過於簡單或無用的探究結果不予以顯示.

性質1

　　$\lceil x\rceil = x\Leftrightarrow x為整數 \Leftrightarrow \lfloor x\rfloor = x$ .

性質2

　　$\lceil x\rceil - \lfloor x\rfloor = [x不為整數]$ .

　　這是一個機智的命題, 給定了 $\lceil x\rceil$ 與 $\lfloor x\rfloor$ 之間的一個關系.

性質3

　　$x-1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x+1$ .

性質4

　　$\lfloor -x\rfloor = -\lceil x\rceil$ .

　　$\lceil -x\rceil = -\lfloor x\rfloor$ .

性質5　整值函數等於整數 n 的等價條件

　　$\lfloor x\rfloor = n \Leftrightarrow n\le x<n+1 \Leftrightarrow x-1<n\le x$

　　$\lceil x\rceil = n\Leftrightarrow n-1<x\le n \Leftrightarrow x\le n<x+1$

性質6　整值函數與整數 n 的不等關系的等價條件

　　左閉右開, 頂函數: $a\le x<b \Leftrightarrow \lceil a\rceil \le x < \lceil b \rceil$ .

　　左開右閉, 底函數: $a < x\le b \Leftrightarrow \lfloor a\rfloor < x \le \lfloor b\rfloor$ .

　　通常配套使用的還有結論: $a < n \Leftrightarrow a+1\le n$ .

　　於是, $\lfloor a\rfloor \le x \Leftrightarrow \lfloor a \rfloor < x+1\Leftrightarrow a < x+1$ .

[混凝土數學] 整型函數