本題適合初一以上數學愛好者解答

問題：

若 $abc = -1$ 且 $\dfrac{a^2}{c} + \dfrac{b}{c^2} = 1$，求 $ab^5 + bc^5 + ca^5$ 的值。

解答一：

考慮消元，比如消去 $a$： $$\frac{a^2}{c} + \frac{b}{c^2} = 1$$ $$\Rightarrow \frac{1}{b^2c^3} + \frac{b}{c^2} = 1$$ $$\Rightarrow 1 + b^3c = b^2c^3.$$ 再來考慮待求的代數式：$$ab^5 + bc^5 + ca^5 = -\frac{b^5}{bc} + bc^5 - \frac{1}{b^5c^4}$$ $$= \frac{-b^9c^3 + b^6c^9 - 1}{b^5c^4}$$ $$= \frac{-b^9c^3 + \left(1 + b^3c\right)^3 - 1}{b^5c^4}$$ $$= \frac{3\cdot(b^3c + 1)}{b^2c^3} = 3.$$

解答二：

考慮輔助元，令 $a = -\dfrac{x}{y}$，$b = -\dfrac{y}{z}$，$c = -\dfrac{z}{x}$.

由已知可得 $$-\frac{x^3}{y^2z} - \frac{x^2y}{z^3} = 1 \Rightarrow x^3z^2 + x^2y^3 + y^2z^3 = 0.$$ 所求代數式為 $$ab^5 + bc^5 + ca^5 = \frac{xy^4}{z^5} + \frac{yz^4}{x^5} + \frac{zx^4}{y^5}$$ $$= \frac{x^6y^9 + y^6z^9 + z^6x^9}{x^5y^5z^5} = \frac{\left(x^3z^2\right)^3 + \left(y^3x^2\right)^3 + \left(z^3y^2\right)^3}{x^5y^5z^5}$$ $$= \frac{3\cdot x^3z^2\cdot y^3x^2 \cdot z^3y^2}{x^3z^2 \cdot y^3x^2 \cdot z^3y^2} = 3.$$ 最後一步使用了以下事實：

若 $a + b + c = 0$，則 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

作者簡介：

趙胤，海歸雙碩士（數學建模 & 數學教育），中國數學奧林匹克一級教練員，原北京四中數學競賽教練員，目前擔任猿輔導數學競賽教學產品中心副總監。

主要研究方向包括：數學建模（機器學習算法）與數學奧林匹克教育（解題研究與教學法），以第一作者身份發表英文論文5篇。

在10余年的教學生涯中，培養了300余名國內外數學競賽獲獎選手，包括華杯賽、小奧賽、全國初高中數學聯賽一等獎，全美數學競賽（AMC）、美國數學邀請賽（AIME）滿分等。

作者微信：zhaoyin0506

初等數學問題解答-9：恒等變形（二）