【算法學習】雙調歐幾裏得旅行商問題（動態規劃）(轉)
雙調歐幾裏得旅行商問題是一個經典動態規劃問題。《算法導論（第二版）》思考題15-1和北京大學OJ2677都出現了這個題目。
旅行商問題描述：平面上n個點，確定一條連接各點的最短閉合旅程。這個解的一般形式為NP的（在多項式時間內可以求出）
J.L. Bentley 建議通過只考慮雙調旅程(bitonictour)來簡化問題,這種旅程即為從最左點開始，嚴格地從左到右直至最右點，然後嚴格地從右到左直至出發點。下圖(b)顯示了
同樣的7個點的最短雙調路線。在這種情況下，多項式的算法是可能的。事實上，存在確定的最優雙調路線的O(n*n)時間的算法。
上圖中，a是最短閉合路線，這個路線不是雙調的。b是最短雙調閉合路線。
求解過程：
（1）首先將各點按照x坐標從小到大排列，時間復雜度為O(nlgn)。
（2）尋找子結構：定義從Pi到Pj的路徑為：從Pi開始，從右到左一直到P1，然後從左到右一直到Pj。在這個路徑上，會經過P1到Pmax(i,j)之間的所有點且只經過一次。
在定義d(i,j)為滿足這一條件的最短路徑。我們只考慮i>=j的情況。
同時，定義dist(i,j)為點Pi到Pj之間的直線距離。
（3）最優解：我們需要求的是d(n,n)。
關於子問題d(i,j)的求解，分三種情況：
A、當j < i - 1時，d(i,j) = d(i-1,j) + dist(i - 1,i)。
由定義可知，點Pi-1一定在路徑Pi-Pj上，而且又由於j<i-1,因此Pi的左邊的相鄰點一定是Pi-1.因此可以得出上述等式。
B、當j = i - 1時，與Pi左相鄰的那個點可能是P1到Pi-1總的任何一個。
因此需要遞歸求出最小的那個路徑：
d(i,j) = d(i,i-1) = min{d(k,j) + dist(i,k)},其中1 <= k <= j。
C、當j=i時，路徑上最後相連的兩個點可能是P1-Pi、P2-Pi...Pi-1-Pi。
因此有：
d(i,i) = min{d(i,1)+dist(1,i),...,d(i,i-1),dist(i-1,i)}.。
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