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Description

二項式系數C(n, k)因它在組合數學中的重要性而被廣泛地研究。二項式系數可以如下遞歸的定義：

C(1, 0) = C(1, 1) = 1；
C(n, 0) = 1對於所有n > 0；
C(n, k) = C(n ? 1, k ? 1) + C(n ? 1, k)對於所有0 < k ≤ n。

給出n和k，你要確定C(n, k)的奇偶性。

Input

輸入包含多組測試數據。每組測試數據一對整數n和k(0 ≤ k ≤ n < 2³¹)，占據獨立一行。

文件結束符（EOF）表示輸入結束。

Output

對每組測試數據，輸出一行，包含一個“0” 或一個“1

”，即C(n, k)除以2的余數。

Sample Input

1 1
1 0
2 1

Sample Output

1
1
0

題解：

　　對於C(n,k),若n&k == k 則c(n,k)為奇數，否則為偶數。

　　證明轉載自：http://wenda.tianya.cn/question/6a073ef33b8fdffa

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     int n,k;
 6     while(cin>>n>>k)
 7     {
 8         if
 
((n&k)==k)
 9             cout<<1<<endl;
10         else 
11             cout<<0<<endl;
12     }
13     return 0;
14 }

View Code

　　證明：
　　利用數學歸納法：
　　由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);
　　對應於楊輝三角：
　　1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　………………
　　可以驗證前面幾層及k = 0時滿足結論，下面證明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k &gt; 0) 滿足結論的情況下，
　　C(n,k)滿足結論。
　　1).假設C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為奇數：
　　則有：(n-1)&k == k;

　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　由於k和k-1的最後一位(在這裏的位指的是二進制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最後一位必然是1
　　。
　　現假設n&k == k。
　　則同樣因為n-1和n的最後一位不同推出k的最後一位是1。
　　因為n-1的最後一位是1，則n的最後一位是0，所以n&k != k，與假設矛盾。
　　所以得n&k != k。
　　2).假設C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為偶數：
　　則有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) != k-1;
　　現假設n&k == k.
　　則對於k最後一位為1的情況：
　　此時n最後一位也為1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，與假設矛盾。
　　而對於k最後一位為0的情況：
　　則k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意個0。
　　相應的，n對應的部分為： 1{*}*; *代表0或1。
　　而若n對應的{*}*中只要有一個為1，則(n-1)&k == k成立，所以n對應部分也應該是10。
　　則相應的，k-1和n-1的末尾部分均為01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，與假設矛盾。
　　所以得n&k != k。
　　由1)和2)得出當C(n,k)是偶數時，n&k != k。
　　3).假設C(n-1,k)為奇數而C(n-1,k-1)為偶數：
　　則有：(n-1)&k == k;
　　(n-1)&(k-1) != k-1;
　　顯然，k的最後一位只能是0，否則由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。
　　所以k的末尾必有一部分形如：10;
　　相應的，n-1的對應部分為： 1{*}*;
　　相應的，k-1的對應部分為： 01;
　　則若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 則要求n-1對應的{*}*中至少有一個是0.
　　所以n的對應部分也就為 ： 1{*}*; (不會因為進位變1為0)
　　所以 n&k = k。
　　4).假設C(n-1,k)為偶數而C(n-1,k-1)為奇數：
　　則有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　分兩種情況：
　　當k-1的最後一位為0時:
　　則k-1的末尾必有一部分形如: 10;
　　相應的，k的對應部分為 : 11;
　　相應的，n-1的對應部分為 : 1{*}0; (若為1{*}1,則(n-1)&k == k)
　　相應的，n的對應部分為 : 1{*}1;
　　所以n&k = k。
　　當k-1的最後一位為1時:
　　則k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)
　　相應的，k的對應部分為 : 10;
　　相應的，n-1的對應部分為 : 01; (若為11，則(n-1)&k == k)
　　相應的，n的對應部分為 : 10;
　　所以n&k = k。
　　由3),4)得出當C(n,k)為奇數時，n&k = k。
　　綜上，結論得證!

poj3219--二項式系數--組合數的奇偶性