MT【63】證明不是周期函數
證明$f(x)=sinx^2$不是周期函數.
反證:假設是周期函數,周期為$T,T>0$.
$$f(0)=f(T)\Rightarrow sinT^2=0\Rightarrow T^2=k_1\pi,k_1\in N^{*}$$
$$f(\sqrt{2}T)=f(\sqrt{2}T+T)\Rightarrow sin2T^2=sin(\sqrt{2}T+T)^2$$
$$\Rightarrow sin2k_1\pi =s in(\sqrt{2}T+T)^2$$
$\Rightarrow(\sqrt{2}T+T)^2=k_2\pi,k_2\in N^{*}$
$\Rightarrow (\sqrt{2}+1)^2=\frac{k_2}{k_1}$,
等式左邊為無理數$\ne$等式右邊為有理數,矛盾,故假設不成立。$\therefore f(x)=sinx^2$不是周期函數.
評:此類證明非周期的題,套路基本都是反證,取一些特殊值,得出矛盾.
MT【63】證明不是周期函數
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