定義

　　組合：C(n,m)表示從n個元素中，取任意的m個元素的方案數。

　　定義式： 　　 遞推式：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

　　排列：A(n,m)表示從n個元素中，取任意的m個元素並排列好的方案數

常用公式

1.　C(n,m)=C(n,n-m)

2.　∑C(n,i)=2^n

　　證明：從n個元素中任意取i個(0<=i<=n)的所有不同方案。

　　　　　首先，∑C(n,i)表示從n個元素中任意取0個的所有不同取法+從n個元素中任意取1個的所有不同取法+從n個元素中任意取2個的所有不同取法+……+從n個元素中任意取n個的所有不同取法的總和。

　　　　　其次考慮對於n個元素中的任意一個，記作A，則在每次取時，A都有取或不取兩種選擇，並對於A的選擇是獨立的，與其他元素無關。所以∑C(n,i)=2^n。

3.　∑i*C(n,i)=n*2^(n-1)

　　意義：i*C(n,i) 表示先從n個元素裏取出i個元素，再從這i個元素中取出一個元素。

　　證明：參考公式2

4.　∑(i<=n)C(i,m)=C(n+1,m+1)

　　放到楊輝三角上就是紫色部分的和等於其右下角的值（粉色圈裏）

5.　∑(i<=k)C(n,i)*C(m,k-i)=C(n+m,k)

卡特蘭數

　　括號匹配：包含2n個括號的合法括號序列有多少個

　　　　將左括號看作0，右括號看作1，本問題就變成了：求序列任意前綴0的個數大於或等於1的個數

　　　　那麽對於一個非法序列，一定存在某個最短前綴中，1的個數比0的個數多1。此時我們將此前綴01取反，剩下的不變，最後得到序列中有n+1個0和n-1個1。

　　　　得到的方案數C(2n,n-1)

　　　　另外，此過程是可逆的，也就意味著對於合法序列，我們可以將其01取反變成非法序列。

　　通過網格：從坐標(0,0)到(n,n)，求不跨過對角線的方案數。

　　　　將向右走記作0，向上走記作1，同上。

　　三角劃分：給定一個凸N邊形，求將其三角形化的方案數（劃分成N-2個三角形）

　　　　f 是方案數，h是卡特蘭數。

　　　　f(n)=h(n-2) (n=2，3，4，……)

(待更新補充……）

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