【積性函數基礎學習】
積性函數基礎學習
1. 什麽是積性函數?
積性函數的兩個定義:
(1) 積性函數:對於任意互質的整數a和b有性質f(ab)=f(a)f(b)的數論函數.
(2) 完全積性函數:對於任意整數a和b有性質f(ab)=f(a)f(b)的數論函數.
觀察以上對積性函數的定義,我們可以找出關於此類函數的特點:
(1) 在積性函數的定義f(ab)=f(a)*f(b)中,要求a和b都是整數.
(2) 對於普通的積性函數而言,存在額外的條件,要求a和b都互質(GCD(a,b)==1).
(3) 所有積性函數滿足f(ab)=f(a)*f(b)
2. 積性函數有什麽性質?
性質一:
與算術基本定理有關.
若將n表示成質因子分解式
則有
給這句話再多添幾筆,就是:
這裏的意思是f(ab)=f(a)*f(b)其實是可以通過唯一分解定理推廣成f(abcd...)=f(a)*f(b)*f(c)*f(d)*...(a,b,c,d...之間兩兩互質)的形式的.關於這個性質,一種最簡單的理解是,我們其實可以將右式的f(a)*f(b)*f(c)*f(d)*...的任意兩個函數化成一個函數(容易看出這兩個函數是滿足積性函數運算規則的),每一步操作右邊就會少一個函數,最終右式會只下剩f(A)*f(B)這兩個函數(且A*B==abcd...),將其帶回原式,並進行一定的變換,整個式子就會又回到了f(ab)=f(a)*f(b)的形式.性質二:
若f為積性函數且有
則f為完全積性函數。
3.有哪些積性函數？
積性:
φ(n) －歐拉函數，計算與n互質的正整數之數目
μ(n) －莫比烏斯函數，關於非平方數的質因子數目
gcd(n,k)－最大公因子，當k固定的情況
d(n) －n的正因子數目
σ(n) －n的所有正因子之和
σk(n)－因子函數，n的所有正因子的k次冪之和，當中k可為任何復數。
1(n) －不變的函數，定義為 1(n) = 1 （完全積性）
Id(n)－單位函數，定義為 Id(n) = n（完全積性）
Idk(n)－冪函數，對於任何復數、實數k，定義為Idk(n) = n^k（完全積性）
ε(n) －定義為：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。別稱為“對於狄利克雷卷積的乘法單位”（完全積性）
λ(n) －劉維爾函數，關於能整除n的質因子的數目
γ(n)，定義為γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函數ω(n)是不同能整除n的質數的數目
另外，所有狄利克雷特征均是完全積性的[1]
非積性:
馮·曼戈爾特函數：當n是質數p的整數冪，Λ(n)=ln(p)，否則Λ(n)=0
不大於正整數n的質數的數目π(n)
整數拆分的數目P(n)：一個整數能表示成正整數之和的方法的數目[2]
4.積性函數實戰！
例題1：[Hdu1452]Happy 2004
資料來源&推薦博客:
(1)百度百科:https://baike.baidu.com/item/%E7%A7%AF%E6%80%A7%E5%87%BD%E6%95%B0/8354949?fr=aladdin
(2)博客|淺談一類積性函數的前綴和(已經全部是更後面的知識了,轉載)：http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
(3)博客|積性函數、線性篩、莫比烏斯反演和一堆亂七八糟的題目:http://jcvb.is-programmer.com/posts/41846.html
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