線性代數之二------任意階行列式的計算

阿新 • • 發佈：2017-10-17

code 數學都是 sum bsp 表達 logs 就會觀察

上一篇，我們講到了二階行列式的定義，接下來我們要將其拓展到任意階的行列式。

在此之前，我們要講一個叫做逆序數的東西，它與行列式的定義可謂是息息相關。

那麽，什麽是逆序數呢？

眾所周知，任意一個大小為n的集合都可以排列成n!個序列，假定集合中的元素是可排序的，

那麽我們將前i-1個數中，比第i個數大的數的個數累加之和就是逆序數。

下面給出其數學公式:

Sum(ak > ai)，其中，0 < k < i and 0 < i <= n

一個順序序列的逆序數，是0。

一個逆序序列的逆序數(n-1)!。

另外，也是很重要的一點，我們將逆序數為奇數的排列叫做奇排列，為偶數的排列則叫做偶排列。

接下來，我們將了解到逆序數的作用。

我們先來看看三階矩陣的計算公式:

| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

上式可以表達為：

　det = a13a21a32 + a12a23a31 + a11a22a33 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

仔細觀察就會發現正數部分的列標都是偶排列，而負數部分的列標都是奇排列。

然後發現二階行列式同樣符合上述規則。

然後我們就可以推出行列式的通用計算公式:

Sum = (-1)^t*a1p1a2p2a3p3

其中t是列標的逆序數。

由此我們可以總結出任意階的行列式的計算公式:

det(aij) = Sum((-1)^t * a1p1a2p2a3p3...anpn) (n!種排列)

因為交換相鄰的兩個元素，會改變序列的奇偶性，所以奇排列要置換為順序序列需要奇數次，

偶排列置換為順序序列需要偶數次。

由此我們可以將上式中的列標替換為行標，也就是公式:

det(aij) = Sum((-1)^t * ap11ap22ap33ap44...apnn)

恩...任意階行列式的計算就講到這裏吧，下一篇我們介紹下行列式的一些性質吧。

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