數學筆記13——定積分
什麽是定積分
有一塊形狀不規則的土地，要測量它的面積，怎麽辦呢？
這意味著我們要求解曲線下的面積，該面積從a開始，到b結束，用 
表示，這就是定積分。對比不定積分，發現定積分有起點和終點。不定積分是已知導數求原函數，定積分就是求函數f(X)在區間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。
黎曼和
如何求解曲線下的面積呢？為了簡化問題，我們假設f(x) = x2，這是一個較為簡單的曲線，同時設a = 0， b = 1：
分為三步計算面積：
- 首先把陰影部分卻成一系列等寬的矩形；
- 把這些矩形的面積加起來：
- 修正之前的算法。
如下圖所示：
將面積分為成一系列矩形
我們看到，每個矩形都可能超出或小於實際面積，所謂“修正之前的算法”，是修正矩形增加或減少的面積，具體做法是通過讓矩形變窄來取得極限值，如下圖所示：
矩形變窄
變得更窄的矩形
矩形越窄，就越接近實際面積。
當矩形寬度很小時，把所有矩型面積加起來就是這塊不規則圖形的面積，這就是著名的“黎曼和”。矩形寬度趨於0時，即為面積微分；各個面積求和取極限即為定積分。雖然牛頓時代就給出了定積分的定義，但是定積分的現代數學定義卻是用黎曼和的極限給出。
就上圖而言，f(x) = x2，a = 0，把ab分為n份：
曲線下的面積之和就是當n→∞時的矩形面積之和。現在的問題是如何求得(12
這需要一點技巧，用作圖法求解。
想象一下金字塔，每一層都是有若幹塊磚頭堆砌而成，其模型如下：
垂直切割面如下面兩圖所示：
圖1 三角形面積大於金字塔面積
圖2 三角形面積小於金字塔面積
由此可以將問題轉換為求金字塔的體積。
所以，當n→∞時，
面積的示例
三角形的面積
f(x) = x，求陰影部分三角形面積。
長方形的面積
f(x) = 1，求陰影部分長方形的面積。
定積分的公式
結合上面的例子，設Δx = (b - a)/n，給出定積分公式：
可以得到下面的表格：
可以大膽地猜測，
總結
- 定積分就是求函數f(X)在區間[a,b]中的圖像包圍的面積。
- 當矩形面積很小時，把所有矩型面積加起來就是這塊不規則圖形的面積，這就是著名的“黎曼和”。
- 定積分公式：
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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