§概念

歐拉通路: 通過圖中每條邊且只通過一次，並且經過每一頂點的通路；

歐拉回路: 通過圖中每條邊且只通過一次，並且經過每一頂點的回路；

歐拉環：圖中經過每條邊一次且僅一次的環；

歐拉路徑：圖中經過每條邊一次且僅一次的路徑；

歐拉圖：有至少一個歐拉環的圖；

半歐拉圖：沒有歐拉環，但有至少一條歐拉路徑的圖；

基圖：對一個圖而言把所有邊視作無向邊得到其基圖，即將所有有向邊變成無向邊形成的無向圖。

無向圖

設G是連通無向圖，則稱經過G的每條邊一次並且僅一次的路徑為歐拉通路；

如果歐拉通路是回路（起點和終點是同一個頂點），則稱此回路是歐拉回路；

具有歐拉回路的無向圖G成為歐拉圖

有向圖

（1）設D是有向圖，D的基圖連通，則稱經過D的每條邊一次並且僅有一次的有向路徑為 有向歐拉通路

（2）如果有向歐拉通路是有向回路，則稱此有向回路為 有向歐拉回路

（3）具有有向歐拉回路的圖D稱為有向歐拉圖

定理

無向圖G存在歐拉通路的充要條件是：G為連通圖，並且G僅有兩個奇度結點（度數為奇數的頂點）或者無奇度結點。

推論

（1） 當G是僅有兩個奇度結點的連通圖時，G的歐拉通路必以此兩個結點為端點；

（2）當G是無奇度結點的連通圖時，G必有歐拉回路

（3）G為歐拉圖（存在歐拉回路）的充分必要條件是 G為無奇度結點的連通圖

（有向圖） 定理

有向圖D存在歐拉通路的充要條件是：D為有向圖，D的基圖連通，並且所有頂點的出度與入度相等；或者 除兩個頂點外，其余頂點的出度與入度都相等，而這兩個頂點中一個頂點的出度與入度之差為1，另一個頂點的出度與入度之差為-1.

推論

（1）當D除出、入度之差為1，-1的兩個頂點之外，其余頂點的出度與入度相等時，D的有向歐拉通路必以出、入度之差為1的頂點作為始點，以出、入度之差為-1的頂點作為終點。

（2）當D的所有頂點的出、入度都相等時，D中存在有向歐拉回路。

（3）有向圖D為有向歐拉圖的充要條件是 D的基圖為連通圖，並且所有頂點的出、入度都相等。

歐拉回路的求解

兩種方法：（1）DFS搜索 （Fleury）佛羅萊算法

（1）DFS搜索 思想求解歐拉回路的思路為：利用歐拉定理判斷出一個圖存在歐拉通路或歐拉回路後，選擇一個正確的起始頂點，用DFS算法遍歷所有的邊（每條邊只遍歷一次），遇到走不通就回退。在搜索前進方向上將遍歷過的邊按順序記錄下來。這組邊的排列就組成了一條歐拉通路或回路。

（2） （Fleury）佛羅萊算法

設G為一個無向歐拉圖，求G中一條歐拉回路的算法如下：

（1） 任取G中一頂點v0，令P0=v0；

（2）假設沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到頂點vi，按下面方法從E(G)-{e1,e2,...,ei}中選ei+1。

ei+1與vi相關聯

除非無別的邊可供選擇，否則ei+1不應該是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的橋。

（3）當（2）不能再進行時算法停止。

可以證明的是，當算法停止時，所得到的簡單回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm，（vm=v0）為G中一條歐拉回路。

加一道簡單題 洛谷-1341（詳情見圖論雜題專題）

2017-10-20 13:57:14 Hathaway

新知識添加·歐拉回路+歐拉路徑