消防

2011年

某個國家有n個城市，這n個城市中任意兩個都連通且有唯一一條路徑，每條連通兩個城市的道路的長度為zi(zi<=1000)。

這個國家的人對火焰有超越宇宙的熱情，所以這個國家最興旺的行業是消防業。由於政府對國民的熱情忍無可忍（大量的消防經費開銷）可是卻又無可奈何（總統競選的國民支持率），所以只能想盡方法提高消防能力。

現在這個國家的經費足以在一條邊長度和不超過s的路徑（兩端都是城市）上建立消防樞紐，為了盡量提高樞紐的利用率，要求其他所有城市到這條路徑的距離的最大值最小。

你受命監管這個項目，你當然需要知道應該把樞紐建立在什麽位置上。

輸入包含n行：
第1行，兩個正整數n和s，中間用一個空格隔開。其中n為城市的個數，s為路徑長度的上界。設結點編號以此為1，2，……，n。
從第2行到第n行，每行給出3個用空格隔開的正整數，依次表示每一條邊的兩個端點編號和長度。例如，“2 4 7”表示連接結點2與4的邊的長度為7。

輸出包含一個非負整數，即所有城市到選擇的路徑的最大值，當然這個最大值必須是所有方案中最小的。

【樣例輸入1】

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

【樣例輸入2】

8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3

【樣例輸出1】

5

【樣例輸出2】

5

對於20%的數據，n<=300。

對於50%的數據，n<=3000。

對於100%的數據，n<=300000，邊長小等於1000。

/*
20%的數據,就是NOIP那道樹網的核。
100%這麽大的數據範圍，若直徑長度為d，dlogd可能會被卡
所以就需要一種O(n)的算法。

先bfs兩遍求出樹的直徑(防爆棧)，O(n)的
然後維護 g[i]表示i是路徑右端點時，右邊那段刪掉的直徑長度。
f[i]表示i是路徑左端點時，左邊那段刪掉的直徑長度。
h[i]表示i是直徑上的點，每個直徑上的點不是都有一棵（或者很多棵）
由非此直徑上點組成的樹（森林）嘛，點i到這些子節點中最遠的那個的距離。
然後在這個序列上跑雙指針。就是路徑長度不是有限制嘛，然後從左到右枚舉左端點，然後右端點是非嚴格單調右移的。
時間復雜度線性。而對於一段路徑區間[l,r]，它作為樞紐時的答案為 
max(max(f[l],g[r]),max{hi,i∈[l,r]}) 
然後最右邊那個怎麽搞呢？ 單調隊列，維護hi最大值啊~ 
 
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>

#define N 3000007
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;
int n,m,k,s,t,ans,cnt,num,L,R;
int head[N],f[N],g[N],h[N],fa[N],vis[N];
int belong[N],tmp[N],que[N],id[N];
struct edge{
    int v,net,w;
}e[N<<1];
queue<int>q;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>‘9‘||c<‘0‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
    return x*f;
}

inline void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].v=v;e[cnt].w=w,e[cnt].net=head[u];head[u]=cnt;
}

int bfs(int s,int Time)
{
    int len=0;q.push(s);
    g[s]=0,fa[s]=s,vis[s]=Time;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].net)
        {
            int v=e[i].v;
            if(vis[v]==Time) continue;
            g[v]=g[u]+e[i].w;len=max(len,g[v]);
            fa[v]=u;vis[v]=Time;
            q.push(v);
        }
    }return len;
}

void solve()
{
    int i;
    for(s=1,bfs(s,++num),i=1;i<=n;i++)
      if(g[i]>g[s]) s=i;
    for(bfs(s,++num),i=1;i<=n;i++)
      if(g[i]>g[t]) t=i;
    belong[n=1]=t;num++;
    do{
        t=fa[t],belong[++n]=t,vis[t]=num;
    }while(t!=s);
    
    for(i=1;i<=n;i++) f[i]=g[belong[1]]-g[belong[i]];
    for(i=1;i<=n;i++) tmp[i]=g[belong[i]];
    for(i=1;i<=n;i++) h[i]=bfs(belong[i],num);
    for(i=1;i< n;i++) g[i]=tmp[i];g[n]=0;    
}

int main()
{
    int x,y,z;
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        x=read();y=read();z=read();
        add(x,y,z);add(y,x,z);
    }
    solve();
    
    int l=1,r=0;ans=inf;
    for(l=1;l<=n;l++)
    {
        while(r<n && f[r+1]-f[l]<=m)
        {
            ++r;while(L<=R && que[R]<h[r]) R--;
            que[++R]=h[r];id[R]=r;
        }
        ans=min(ans,max(max(f[l],g[r]),que[L]));
        if(id[L]<=l)L++;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

[SDOI2011]消防(單調隊列，樹的直徑，雙指針)