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從數學上講，卷積就是一種運算。

某種運算，能被定義出來，至少有以下特征：

• 首先是抽象的、符號化的
• 其次，在生活、科研中，有著廣泛的作用

比如加法：

• ，是抽象的，本身只是一個數學符號
• 在現實中，有非常多的意義，比如增加、合成、旋轉等等

卷積，是我們學習高等數學之後，新接觸的一種運算，因為涉及到積分、級數，所以看起來覺得很復雜。

1 卷積的定義

我們稱 為 的卷積

其連續的定義為：

其離散的定義為：

這兩個式子有一個共同的特征：

這個特征有什麽意義？

我們令

如果遍歷這些直線，就好比，把毛巾沿著角卷起來：

此處受到 荊哲：卷積為什麽叫「卷」積？ 答案的啟發。

只看數學符號，卷積是抽象的，不好理解的，但是，我們可以通過現實中的意義，來習慣卷積這種運算，正如我們小學的時候，學習加減乘除需要各種蘋果、糖果來幫助我們習慣一樣。

我們來看看現實中，這樣的定義有什麽意義。

2 離散卷積的例子：丟骰子

我有兩枚骰子：

把這兩枚骰子都拋出去：

求：

這裏問題的關鍵是，兩個骰子加起來要等於4，這正是卷積的應用場景。

我們把骰子各個點數出現的概率表示出來：

那麽，兩枚骰子點數加起來為4的情況有：

因此，兩枚骰子點數加起來為4的概率為：

符合卷積的定義，把它寫成標準的形式就是：

3 連續卷積的例子：做饅頭

樓下早點鋪子生意太好了，供不應求，就買了一臺機器，不斷的生產饅頭。

假設饅頭的生產速度是 ，那麽一天後生產出來的饅頭總量為：

饅頭生產出來之後，就會慢慢腐敗，假設腐敗函數為 ，比如，10個饅頭，24小時會腐敗：

想想就知道，第一個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷24小時的腐敗，第二個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷23小時的腐敗。

如此，我們可以知道，一天後，饅頭總共腐敗了：

這就是連續的卷積。

4 圖像處理

4.1 原理

有這麽一副圖像，可以看到，圖像上有很多噪點：

高頻信號，就好像平地聳立的山峰：

看起來很顯眼。

平滑這座山峰的辦法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周圍去。用數學的話來說，就是把山峰周圍的高度平均一下。

平滑後得到：

4.2 計算

卷積可以幫助實現這個平滑算法。

有噪點的原圖，可以把它轉為一個矩陣：

然後用下面這個平均矩陣（說明下，原圖的處理實際上用的是正態分布矩陣，這裏為了簡單，就用了算術平均矩陣）來平滑圖像：

記得剛才說過的算法，把高頻信號與周圍的數值平均一下就可以平滑山峰。

比如我要平滑 點，就在矩陣中，取出 點附近的點組成矩陣 ，和 進行卷積計算後，再填回去：

要註意一點，為了運用卷積， 雖然和 同維度，但下標有點不一樣：

我用一個動圖來說明下計算過程：

寫成卷積公式就是：

要求 ，一樣可以套用上面的卷積公式。

這樣相當於實現了 這個矩陣在原來圖像上的劃動（準確來說，下面這幅圖把 矩陣旋轉了 ）：

卷積運算