用途

當我們已知$(a,b)$

擴展歐幾裏得算法可以求出滿足$p*a+q*b=GCD(a,b)$的$(p,q)$解集

$GCD(a,b)$表示$a,b$的最大公約數

前導知識

$GCD(a,b)=GCD(b,a\%b)$

$GCD(a,0)=0$

$a\%b=a-a/b*b$

推導過程

其實擴展歐幾裏得的推導過程挺自然的

$p*a+q*b$

$=GCD(a,b)$

$=GCD(b,a\%b)$

$=p*b+q*(a\%b)$

$=p*b+q*(a-a/b*b)$

$=p*b+q*a-q*a/b*b$

$=q*a+p*b-q*a/b*b$

$=q*a+(p-q*a/b)*b$

這樣不斷的遞歸下去

當$b==0$時

$p=1,q=0$

代碼

註意：

我們在求$(p-q*a/b)$的時候需要用到上一層的$p$

但此時上一層$p$已經被賦值成了$q$

所以我們需要開一個中間變量來記錄上一層的$p$

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {
 5         x=1,y=0;
 6         return a;
 7     }
 8     int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
 9     tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y;
 
10     return r;
11 }

擴展歐幾裏得算法