（原創文章，謝絕轉載~）

1. contravariant transformation，中文為逆變或反變，

   設向量空間兩組基: \(X_{i}\) 和 \(Y_{i}\) , 並且前組基到後組基的過渡矩陣為 \(R\), 向量\(\xi\) 在兩組基下的坐標分別為 \(x_{i}\) 和\(y_{i}\),（很多物理量不依賴於坐標選取）
   則有 \(y_{i}=R^{-1}x_{i}\) ,坐標變換為過渡矩陣的逆乘以原坐標，故稱為逆變

2. covariant transformation ，中文為共變或協變，
   例如線性變換 \(\sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3},...,Y_{n})=\sigma(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})R\)

   ，為變換乘上過渡矩陣

3. X基到Y基： \(Y_{i}=\sum_{j=1}^{n}X_{j}R_{ij}\)
   若使用愛因斯坦求和約定，即重復的角標從1-n求和
   則可簡寫為：\(Y_{i}=\sum_{j=1}^{n}X_{j}R_{ij}=X_{j}R_{ij}\)
   列向量v的逆變可以寫為 \(\hat{v}_{i}=(R^{-1})_{ij}v^{j}\)
   行向量w的協變可以寫為 \(\hat{w}_{i}=w_{j}R_{ij}\)

4. 設角標（indices） \(i_{1},i_{2},...,i_{p}\) 為滿足逆變的角標，p個，\(j_{1},j_{2},...,j_{q}\)為滿足協變的角標，q個，則 \(T_{j_{1}...j_{q}}^{i_{1}...i_{p}}\)

   為（p，q）型張量 T，階數為p+q
   且在新舊坐標下，滿足下面變換：
   \(T_{{j_{1}}‘...{j_{q}}‘}^{{i_{1}}‘...i_{p}‘}=(R^{-1})_{i_{1}{i_{1}}‘}...(R^{-1})_{i_{p}{i_{p}}‘}T_{{j_{1}}...{j_{q}}}^{{i_{1}}...i_{p}}R_{j_{1}{j_{1}}‘}...R_{j_{q}{j_{q}}‘}\)

未完待續。。。

張量（tensor）簡介