線性基

所謂基就是基底

線性基就可以理解為n個數異或（xor）的基底

性質

1，線性基的異或集合中不存在0（很容易證明：根據xor的性質即可）

2，線性基能相互異或得到原集合的所有相互異或得到的值（這也是線性基的優美之處）

3，線性基二進制最高位互不相同

4，如果線性基是滿的，它的異或集合為[1,2n?1]

構造

對n個數，每個數字的二進制位，從高位到低位，掃到第i位時，若a[i]已在基裏，則讓x異或（xor）a[i]，否則將x加入基中，即a[i]=x即可，不難看出每個數要不就加入基中，要不然就被xor到0

for(int i=1;i<=n;i++) {    
 
    　　　　
 
for(int j=62;j>=0;j--) {
 
        　　　　 if(!(a[i]>>j)) continue;//對線性基的這一位沒有貢獻           
 
        　　　　　 　if(!p[j]) { p[j]=a[i]; break; }//選入線性基中                   
 
        　　　　　　 a[i]^=p[j];
 
        　　　　 }
 
    　　　}

合並

直接暴力合並即可，就像插入一樣即可

查詢

1，查詢任意一個值，直接將這個數的二進制位的1和線性基進行xor，如果x（這個數）變為0，則可以

2，查詢max，從高位到低位掃描線性基，如果異或後可以使得答案變大，就異或到答案中去

long long query_max()
{
    long long ret=0;
    for (int i=60;i>=0;i--)
        if ((ret^d[i])>ret)
            ret^=d[i];
    return ret;
}

3，查詢min，最小值即為最低位上的線性基（前提是沒有0）

long long query_min()
{
    for (int i=0;i<=60;i++)
        
 
if (d[i])
            return d[i];
    return 0;
}

4，第k小

根據性質3。 
我們要將線性基改造成每一位相互獨立。 
具體操作就是如果i<j，aj的第i位是1，就將aj異或上ai。 
經過一系列操作之後，對於二進制的某一位i。只有ai的這一位是1，其他都是0。 
所以查詢的時候將k二進制拆分，對於1的位，就異或上對應的線性基。 
最終得出的答案就是k小值。

模板

struct L_B{
    long long d[61],p[61];
    int cnt;
    L_B()
    {
        memset(d,0,sizeof(d));
        memset(p,0,sizeof(p));
        cnt=0;
    }
    bool insert(long long val)
    {
        for (int i=60;i>=0;i--)
            if (val&(1LL<<i))
            {
                if (!d[i])
                {
                    d[i]=val;
                    break;
                }
                val^=d[i];
            }
        return val>0;
    }
    long long query_max()
    {
        long long ret=0;
        for (int i=60;i>=0;i--)
            if ((ret^d[i])>ret)
                ret^=d[i];
        return ret;
    }
    long long query_min()
    {
        for (int i=0;i<=60;i++)
            if (d[i])
                return d[i];
        return 0;
    }
    void rebuild()
    {
        for (int i=60;i>=0;i--)
            for (int j=i-1;j>=0;j--)
                if (d[i]&(1LL<<j))
                    d[i]^=d[j];
        for (int i=0;i<=60;i++)
            if (d[i])
                p[cnt++]=d[i];
    }
    long long kthquery(long long k)
    {
        int ret=0;
        if (k>=(1LL<<cnt))
            return -1;
        for (int i=60;i>=0;i--)
            if (k&(1LL<<i))
                ret^=p[i];
        return ret;
    }
}
L_B merge(const L_B &n1,const L_B &n2)
{
    L_B ret=n1;
    for (int i=60;i>=0;i--)
        if (n2.d[i])
            ret.insert(n1.d[i]);
    return ret;
}

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