概述

歐幾裏德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數\(a\),\(b\)的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：

\(gcd\)函數就是用來求\((a,b)\)的最大公約數的。

\(gcd\)函數的基本性質：

\[gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)\]

原理

證明：\(a?\)可以表示成\(a = kb + r?\)，則\(r = a (mod) b?\)

假設\(d\)是\(a\),\(b\)的一個公約數，則有

\(d|a\), \(d|b\)，而\(r = a - kb\)，因此\(d|r\)

因此\(d\)是\((b,a(mod)b)\)

的公約數

假設\(d\) 是\((b,a(mod)b)\)的公約數，則

\(d | b\) , \(d |r\) ，但是\(a = kb +r\)

因此\(d\)也是\((a,b)\)的公約數

因此\((a,b)\)和\((b,a(mod)b)\)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證

歐幾裏得算法和擴展歐幾裏得算法