作者：桂。

時間：2017年12月19日20:43:04

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前言

主要記錄基本的頻分復用原理，以及仿真實現。

一、頻分復用原理

頻分復用FDM:

通常x1..4(t)可以是同一個序列的串並轉化，也可以是不同序列，頻分復用示意圖：

主要包含三個操作：1）上采樣(up-sample); 2）濾波（fir）;3）累加(sum)。

頻分復用：將多個不同頻段的信號拼接為一個寬帶信號，主要包含三個操作：1）上采樣(up-sample); 2）濾波（fir）;3）累加(sum)。

• 上采樣

T₁/T₂ = 4，故上采樣倍數為4，上采樣有原數據保持、插值、補零等方法，這裏采用最基本的補零方法。不失一般性，X₀(n)、X₁(n)、X₂(n)、X₃(n)分別按不同頻率的正弦信號處理。

以x₁(n) 的頻域變換：

4倍插值後的頻譜：

可以看出插值後出現了多個重復周期，因此需要借助低通濾波以保留單一周期，如下圖所示:

因此需要構造不同頻段的濾波器，四個藍色陰影部分拼接（累加）即可。

• 濾波器

這裏prototype濾波器:

共構造8個濾波器，分成四組，輸出y(n)為：

Y(n) = y0(n)+ y1(n)+ y2(n)+ y3(n)

y_m

Y_m(n) = xm_interpl(n)*[h_a (n) exp((-im*2*pi*(m*n))/8)+ h_a(n) exp((-im*2*pi*((8-m)*n))/8)]

= 2*xm_interpl(n)*[h_a(n)cos((-2*pi*(m*n))/8)]

其中h_a (n) = h(n)* exp((-im*pi*n)/8)為prototype filter，至此便完成了信號的頻分多路復用（FDM）理論推導.

• 累加

濾波後的各個輸出累加，即得到調制的y(n)，仿真圖如圖所示：

結果與上文一致。

二、仿真結果

頻分復用的接收端是發射的逆過程，分別利用 基本濾波器、多相濾波器實現：

基本濾波器：

%recovery signal: x
clc;clear all;close all;
load fir2.mat;
fir = fir2;
B = 4000;%4KHz
fs1 = 2*B;
D = 4;
t1 = 0:1/fs1:(128-1)/fs1;
f = [800 1600 2200 2800];%frequency
x0 = sin(2*pi*t1*f(1));
x1 = sin(2*pi*t1*f(2));
x2 = sin(2*pi*t1*f(3));
x3 = sin(2*pi*t1*f(4));
x_shape = [x0;x1;x2;x3];
%% interp
x0_interp = [x0;zeros(3,length(t1))];
x0_interp = x0_interp(:)‘;
x1_interp = [x1;zeros(3,length(t1))];
x1_interp = x1_interp(:)‘;
x2_interp = [x2;zeros(3,length(t1))];
x2_interp = x2_interp(:)‘;
x3_interp = [x3;zeros(3,length(t1))];
x3_interp = x3_interp(:)‘;
%%prototype filter
x_all = [x0_interp;x1_interp;x2_interp;x3_interp;flipud([x0_interp;x1_interp;x2_interp;x3_interp])];
im = sqrt(-1);
iseq = 1:length(fir);
for j = 1:D
        h_channel(j,:) = fir.*cos((2*pi*((j-1/2)*(iseq-1)))/8);
%     h_channel(j,:) = fir.*exp((1j*2*pi*((j-1/2)*(iseq-1)))/8);
end
%%add signal
yn = zeros(1,length(x3_interp));
for i = 1:D
    yn = filter(h_channel(i,:),1,x_all(i,:))+yn;
end
%%demultiplex
x_channel = zeros(D,length(yn)/D);
for i = 1:D
    x_channel(i,:) = downsample(filter(h_channel(i,:),1,yn),D);
end
figure()
for i = 1:D
    subplot(2,2,i)
    plot(linspace(0,fs1,length(t1)),abs(fft(x_channel(i,:))));
    xlabel(‘frequency(Hz)‘);ylabel(‘amplitude‘);title(‘direct filter -> x‘);
end

%%plot mse
figure()
for i = 1:4
     x_channel(i,:) =  x_channel(i,:)/max(abs( x_channel(i,:)));
     subplot (2,2,i)
     plot(linspace(0,fs1,length(t1)),x_channel(i,:));hold on;
     plot(linspace(0,fs1,length(t1)),x_shape(i,:),‘r--‘);hold on;
%      plot(linspace(0,fs1,length(t1)),abs(x_shape(i,:)-x_channel(i,:)).^2,‘k‘);
     xlabel(‘frequency(Hz)‘);title(‘MSE‘);
%      legend(‘recovery‘,‘orignal‘,‘MSE‘);
end

　　多相濾波器，推導：

令l = iD+p，D表示分解後信號路數，此處D = 4:

令，

再將結果取實部即可得解。

%recovery signal by polyphase filter: x
clc;clear all;close all;
load fir2.mat;
fir = fir2;
B = 4000;%4KHz
fs1 = 2*B;
D = 4;
t1 = 0:1/fs1:(128-1)/fs1;
f = [800 1600 2200 2800];%frequency
x0 = sin(2*pi*t1*f(1));
x1 = sin(2*pi*t1*f(2));
x2 = sin(2*pi*t1*f(3));
x3 = sin(2*pi*t1*f(4));
x_shape = [x0;x1;x2;x3];
%% interp
x0_interp = [x0;zeros(3,length(t1))];
x0_interp = x0_interp(:)‘;
x1_interp = [x1;zeros(3,length(t1))];
x1_interp = x1_interp(:)‘;
x2_interp = [x2;zeros(3,length(t1))];
x2_interp = x2_interp(:)‘;
x3_interp = [x3;zeros(3,length(t1))];
x3_interp = x3_interp(:)‘;
%%prototype filter
x_all = [x0_interp;x1_interp;x2_interp;x3_interp;flipud([x0_interp;x1_interp;x2_interp;x3_interp])];
im = sqrt(-1);
iseq = 1:length(fir);
for j = 1:D
        h_channel(j,:) = fir.*cos((-2*pi*((j-1/2)*(iseq-1)))/8);
%     h_channel(j,:) = fir.*exp((1j*2*pi*((j-1/2)*(iseq-1)))/8);
end
%%add signal
yn = zeros(1,length(x3_interp));
for i = 1:D
    yn = filter(h_channel(i,:),1,x_all(i,:))+yn;
end
%%demultiplex
%prototype filter
h0 = fir.*exp((-1j*2*pi*((-1/2)*(iseq-1)))/8);
h_py = fliplr(reshape(h0,D,length(h0)/D));
y_py = (reshape(yn,D,length(yn)/D));
x_channel = zeros(D,length(yn)/D);
for i = 1:D
    x_channel(i,:) = filter(h_py(i,:),1,y_py(i,:));
end
x_channel = real(ifft(x_channel));
x_channel = x_channel([1,4,2,3],:);
%%plot mse
figure()
for i = 1:4
     x_channel(i,:) =  x_channel(i,:)/max(abs( x_channel(i,:)));
     subplot (2,2,i)
     plot(linspace(0,fs1,length(t1)),x_channel(i,:));hold on;
     plot(linspace(0,fs1,length(t1)),x_shape(i,:),‘r--‘);hold on;
%      plot(linspace(0,fs1,length(t1)),abs(x_shape(i,:)-x_channel(i,:)).^2,‘k‘);
     xlabel(‘frequency(Hz)‘);title(‘MSE‘);
%      legend(‘recovery‘,‘orignal‘,‘MSE‘);
end

三、其他

原型濾波器信道化思路：

信道化與頻分復用略有不同，頻分復用主要是余弦函數，理論上相鄰無衰減，得到的余弦曲線並不理想：

當有一定的過渡帶時，余弦曲線：

可見此時應該有一個過渡帶才更加合理，而不是像信道化體系常用的約束：相鄰信道無縫連接。

頻分復用（Frequency Division Multiplexer）