哈爾濱理工大學第七屆程序設計競賽初賽(高年級組)E - 音樂轉換
題目描述
John是一位熱衷的音遊愛好者。
一天,他正在玩音遊,碰到了一個難題。他面前有一個初始旋律,遊戲目標是要把這一段初始旋律變成目標旋律。但是,難點在於,John並不能隨意的改變這一旋律,每一次改變之後的旋律必須在他的旋律庫中(或者為目標旋律),更令人頭疼的是,每一次操作都需要消耗一定的combo,我們假設從A旋律改變成B旋律,那麽這一次操作所消耗的Combo數是A與B的最大子旋律長度(最大公共子序列)再加1。需要註意的是,初始旋律必須變成旋律庫中的一個旋律或者直接變成目標旋律,而旋律庫中的任意一個旋律可以變成旋律庫中的另外一個旋律,或者直接變成目標旋律,也可以變成初始旋律。而目標旋律則不能再進行任何操作。
John想問問你,在不限操作次數的情況下,一共有多少種方案使得初始旋律變成目標旋律,且一共消耗的combo數恰好為T,當然這個答案太大了,你只需要將它對1,000,000,007取余數就可以了。
請註意,再本題中,所有的旋律你都可以視為一個字符串。
輸入描述:
輸入第一行有兩個正整數,分別為n和T,其中n代表曲庫中的旋律數,T代表John所希望消耗的Combo數。
第二行有一個字符串,代表初始旋律。
第三行有一個字符串,代表目標旋律。
接下來N行,每行有一個字符串,代表旋律庫中的旋律。
1<=N<=25
1<=T<=10^9
任意出現的一個字符串長度<=25
任意兩個字符串的最長公共子序列的長度<=5輸入的n+2的字符串兩兩不同,且均由小寫字母組成。
輸出描述:
輸出只有一個正整數,代表方案數對1,000,000,007的余數。示例1
輸入
2 4 ab ba bb aa
輸出
2
題解
$dp$,矩陣快速冪。
很容易想到一個$dp$,$dp[i][j]$表示最後變到第$i$個字符串,費用和為$j$的方案數。轉移就是$dp[i][j] = \sum{dp[k][j - cost[k][i]]}$。
由於第二維太大了,所以需要優化。
可以這樣想,
$(dp[0,0],...,dp[0,5],dp[1,0],...,dp[1,5],dp[2,0],...,dp[2,5],......,dp[n + 1,0],...,dp[n + 1,5])$這個矩陣,乘上$A$矩陣
會變成$(dp[0,1],...,dp[0,6],dp[1,1],...,dp[1,6],dp[2,1],...,dp[2,6],......,dp[n + 1,1],...,dp[n + 1,6])$。
$A$矩陣根據$dp$轉移方程很容易構造。每次乘一個$A$矩陣,$dp$就往後挪了一位,因此拿矩陣快速冪優化即可。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const long long mod = 1e9 + 7; const int maxn = 30; char s[maxn][maxn]; int len[maxn]; int c[maxn][maxn]; int f[maxn][maxn]; int n, T; long long dp[maxn][maxn]; struct M { int r, c; long long a[200][200]; }; M mul(const M &a, const M &b) { M res; res.r = a.r; res.c = b.c; for(int i = 0; i < res.r; i ++) { for(int j = 0; j < res.c; j ++) { res.a[i][j] = 0; } } for(int j = 0; j < res.c; j ++) { for(int k = 0; k < a.c ; k ++) { if(b.a[k][j] == 0) continue; for(int i = 0; i < res.r; i ++) { long long u = a.a[i][k] * b.a[k][j] % mod; res.a[i][j] = (res.a[i][j] + u) % mod; } } } return res; } int work(int x, int y) { for(int i = 0; i <= len[x]; i ++) { for(int j = 0; j <= len[y]; j ++) { f[i][j] = 0; } } for(int i = 1; i <= len[x]; i ++) { for(int j = 1; j <= len[y]; j ++) { f[i][j] = max(f[i- 1][j], f[i][j - 1]); if(s[x][i - 1] == s[y][j - 1]) { f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1); } } } return f[len[x]][len[y]] + 1; } int main() { while(~scanf("%d%d", &n, &T)) { scanf("%s", s[0]); scanf("%s", s[n + 1]); for(int i = 1; i <= n; i ++) { scanf("%s", s[i]); } for(int i = 0; i <= n + 1; i ++) { len[i] = strlen(s[i]); } for(int i = 0; i <= n + 1; i ++) { for(int j = 0; j <= n + 1; j ++) { c[i][j] = -1; } } for(int i = 0; i <= n; i ++) { for(int j = 0; j <= n; j ++) { if(i == j) continue; c[i][j] = work(i, j); } } for(int j = 0; j <= n; j ++) { c[j][n + 1] = work(j, n + 1); } for(int i = 0; i <= n + 1; i ++) { for(int j = 0; j <= 10; j ++) { dp[i][j] = 0; } } dp[0][0] = 1; for(int j = 1; j <= 20; j ++) { for(int i = 0; i <= n + 1; i ++) { for(int k = 0; k <= n + 1; k ++) { if(c[k][i] == -1) continue; if(j - c[k][i] >= 0) { dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[k][j - c[k][i]]) % mod; } } } } if(T <= 10) { printf("%lld\n", dp[n + 1][T]); continue; } M A; A.r = 6 * (n + 2); A.c = 6 * (n + 2); for(int i = 0; i < A.r; i ++) { for(int j = 0; j < A.c; j ++) { A.a[i][j] = 0; if(i == j) A.a[i][j] = 1; } } M B; B.r = 6 * (n + 2); B.c = 6 * (n + 2); for(int i = 0; i < B.r; i ++) { for(int j = 0; j < B.c; j ++) { B.a[i][j] = 0; } } for(int j = 0; j < B.c; j ++) { if(j % 6 != 5) { B.a[j + 1][j] = 1; } else { for(int k = 0; k <= n + 1; k ++) { if(c[k][j / 6] == -1) continue; B.a[k * 6 + 6 - c[k][j / 6]][j] = 1; } } } M C; C.r = 1; C.c = 6 * (n + 2); for(int j = 0; j < C.c; j ++) { C.a[0][j] = dp[j / 6][j % 6]; } int p = T - 5; while(p) { if(p & 1) A = mul(A, B); B = mul(B, B); p = p / 2; } C = mul(C, A); printf("%lld\n", C.a[0][C.c - 1]); } return 0; }
哈爾濱理工大學第七屆程序設計競賽初賽(高年級組)E - 音樂轉換