【題意】定義一個n階正方形矩陣為“巧妙的”當且僅當：任意選擇其中n個不同行列的數字之和相同。

給定n*m的矩陣，T次詢問以(x,y)為左上角的k階矩陣是否巧妙。n,m<=500,T<=10^5。

【算法】數學

【題解】

可以證明每個矩陣是巧妙的當且僅當其每個2階子矩陣均是巧妙的：

必要性：若該矩陣有一個不巧妙的2階子矩陣，則其他部分選擇相同的情況下（不涉及此兩行列），這兩行列的和不同，所以該矩陣不是巧妙的。

觀察一個巧妙的2階子矩陣

a1 a2

b1 b2

由a1+b2=a2+b1，可得

a2-a1=b2-b1（列間差分相等）

b1-a1=b2-a2（行間差分相等）

充分性：若該矩陣每個2階子矩陣都是巧妙的，則其行差分的列差分均為0（行差分相等和列差分相等）。

重定義每個數字為Mij=ai+bj，表示A(i,j)和A(i-1,j-1)的列差分和行差分分別為ai和bj，這樣的矩陣不論如何選擇排列，和均為Σai+Σbj,1<=i,j<=k，所以該矩陣是巧妙的。

維護二維前綴和即可。

#include<cstdio>
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
int a[600][600],f[600][600],n,m,T,x,y,k;
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&T);
    rep(i,1,n)rep(j,1,m)scanf("
 
%d",&a[i][j]);
    rep(i,1,n-1)rep(j,1,m-1)f[i][j]=f[i][j-1]+(a[i][j]+a[i+1][j+1]!=a[i+1][j]+a[i][j+1]);
    rep(i,1,n-1)rep(j,1,m-1)f[i][j]+=f[i-1][j];
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
        if(f[x+k-2][y+k-2]-f[x-1][y+k-2]-f[x+k-2][y-1]+f[x-1][y-1]>0)puts("N");else
 
 puts("Y");
    }
}

【LIbreOJ】#6256. 「CodePlus 2017 12 月賽」可做題1