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4518: [Sdoi2016]征途

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Description

Pine開始了從S地到T地的征途。 從S地到T地的路可以劃分成n段，相鄰兩段路的分界點設有休息站。 Pine計劃用m天到達T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必須在休息站過夜。所以，一段路必須在同一天中走完。 Pine希望每一天走的路長度盡可能相近，所以他希望每一天走的路的長度的方差盡可能小。 幫助Pine求出最小方差是多少。 設方差是v，可以證明，v×m^2是一個整數。為了避免精度誤差，輸出結果時輸出v×m^2。

Input

第一行兩個數 n、m。 第二行 n 個數，表示 n 段路的長度

Output

一個數，最小方差乘以 m^2 後的值

Sample Input

5 2
1 2 5 8 6

Sample Output

36

HINT

1≤n≤3000,保證從 S 到 T 的總路程不超過 30000

Source

鳴謝Menci上傳

推公式
設s1[i]=1+2+...+i x=s1[n]/m
方差v=((x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xm-x)^2)/m
直接拆開所有平方
v*m^2=m*(x1^2+x2^2+...+xm^2)-2*(x1+x2+...+xm)^2-(m^2)*(x^2)

(m^2)*(x^2)=s1[n]^2 x1+x2+...+xm=s1[n]^2

ans=v*m^2=m*(x1^2+x2^2+...+xm^2)-s1[n]^2
其實化簡之後發現 需要知道的是每一天的路程
那麽考慮dp
dp[cur][i]=dp[cur-1][j]+(sum[i]-sum[j])^2
ans=dp[m][n]*m-sum[n]^2

斜率優化
dp[j]+(sum[i]-sum[j]-x)^2<=dp[k]+(sum[i]-sum[k]-x)^2
dp[j]-2*(sum[i]-x)*sum[j]+sum[j]^2
<=dp[k]-2*(sum[i]-x)*sum[k]+sum[k]^2

2*sum[i]>=
(dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2)/(sum[j]-sum[k])

 1 #include<cstdio>
 2 const int MAXN=3e3+10;
 3 int n,m;
 4 int s[MAXN];
 5 int q[MAXN],l,r;
 6 long long f[MAXN][MAXN];
 7 double count_y(int k,int j){return f[k][j-1]+s[k]*s[k];}
 8 double count(int t,int k,int j){return (count_y(t,j)-count_y(k,j))/(s[t]-s[k]);}
 9 int main()
10 {
11     scanf("%d%d",&n,&m);
12     for(int i=1;i<=n;++i)
13     {
14         int x;
15         scanf("%d",&x);
16         s[i]=s[i-1]+x;
17     }
18     for(int i=1;i<=n;++i)f[i][1]=s[i]*s[i];
19     for(int j=2;j<=m;++j)
20     {
21         l=1,r=1;
22         for(int i=1;i<=n;++i)
23         {
24             while(l<r&&count(q[l],q[l+1],j)<2*s[i])++l;
25             int temp=q[l];
26             f[i][j]=f[temp][j-1]+(s[i]-s[temp])*(s[i]-s[temp]);
27             while(l<r&&count(q[r],i,j)<count(q[r-1],q[r],j))--r;
28             q[++r]=i;
29         }
30     }
31     printf("%lld\n",f[n][m]*m-(long long)s[n]*s[n]);
32     return 0;
33 }

bzoj4518[Sdoi2016]征途 斜率優化dp