一道算法題-從1到n整數中1出現的次數
1. 題目描述
輸入一個整數n，求從1到n這n個整數的十進制表示中1出現的次數。例如輸入12，從1到12這些整數中包含1的數字有1，10，11和12，1一共出現了5次。
2. 題目來源
第一次看到是在《劍指Offer》第2版上，面試題32。leetcode和牛客網上都有這道題。
3. 本文的目的
看了《劍指Offer》上的解法，我覺得不能算好：
- 這段解釋描述有些不清晰，而且沒有圖，難以理解。
- 從書中給出的實現上來看，顯得有些淩亂。
在這篇博客裏，會給出一個我對這道題的解法，包括完整的解題思路，完整代碼，時間復雜度分析。
4. 解題思路
考慮將n的十進制的每一位單獨拿出討論，每一位的值記為weight。
1）個位
從1到n，每增加1，weight就會加1，當weight加到9時，再加1又會回到0重新開始。那麽weight從0-9的這種周期會出現多少次呢？這取決於n的高位是多少，看圖：
以534為例，在從1增長到n的過程中，534的個位從0-9變化了53次，記為round。每一輪變化中，1在個位出現一次，所以一共出現了53次。
再來看weight的值。weight為4，大於0，說明第54輪變化是從0-4，1又出現了1次。我們記1出現的次數為count，所以：
如果此時weight為0（n=530），說明第54輪到0就停止了，那麽：
2) 十位
對於10位來說，其0-9周期的出現次數與個位的統計方式是相同的，見圖：
不同點在於：從1到n，每增加10，十位的weight才會增加1，所以，一輪0-9周期內，1會出現10次。即rount*10。
再來看weight的值。當此時weight為3，大於1，說明第6輪出現了10次1，則：
如果此時weight的值等於0（n=504），說明第6輪到0就停止了，所以：
如果此時weight的值等於1（n=514），那麽第6輪中1出現了多少次呢？很明顯，這與個位數的值有關，個位數為k，第6輪中1就出現了k+1次(0-k)。
3) 更高位
更高位的計算方式其實與十位是一致的，不再闡述。
4) 總結
將n的各個位分為兩類：個位與其它位。
對個位來說：
- 若個位大於0，1出現的次數為
round*1+1 - 若個位等於0，1出現的次數為
round*1
對其它位來說，記每一位的權值為base，位值為weight，該位之前的數是former，舉例如圖：
則：
- 若weight為0，則1出現次數為
round*base - 若weight為1，則1出現次數為
round*base+former+1 - 若weight大於1，則1出現次數為
rount*base+base
比如：
- 534 = （個位1出現次數）+（十位1出現次數）+（百位1出現次數）=（53*1+1）+（5*10+10）+（0*100+100）= 214
- 530 = （53*1）+（5*10+10）+（0*100+100） = 213
- 504 = （50*1+1）+（5*10）+（0*100+100） = 201
- 514 = （51*1+1）+（5*10+4+1）+（0*100+100） = 207
- 10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2
5. 完整代碼
1 int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) 2 { 3 if(n<1) 4 return 0; 5 int count = 0; 6 int base = 1; 7 int round = n; 8 while(round>0) 9 { 10 int weight = round%10; 11 round/=10; 12 count += round*base; 13 if(weight==1) 14 count+=(n%base)+1; 15 else if(weight>1) 16 count+=base; 17 base*=10; 18 } 19 return count; 20 }
6. 時間復雜度分析
由分析思路或者代碼都可以看出，while循環的次數就是n的位數,logn（以10為底），而循環體內執行的操作都是有限次的，所以時間復雜度為O(logn)。
參考文獻：http://blog.csdn.net/yi_afly/article/details/52012593
一道算法題-從1到n整數中1出現的次數