【快速傅裏葉變換】

參考：從多項式乘法到快速傅裏葉變換 by miskcoo

FFT 學習筆記 by Menci

特點：FFT用於O(n log n)解決多項式乘法。

（一）多項式的表示法：

系數表示法：f(x)=a[n-1]*x^(n-1)+...+a[0]，稱為n-1次多項式。

點值表示法：一個n-1次多項式在復數域中有n個根，即n個(x,y)可以唯一確定一個n-1次多項式。

對於一個多項式，從其系數表示法到其點值表示法的變換稱為離散傅裏葉變換（DFT），反之稱為傅裏葉逆變換（IDFT）。

樸素的離散傅裏葉變換，枚舉實現的復雜度為O(n^2)。

快速傅裏葉變換是指以O(n log n)的復雜度實現IDF和IDFT的算法，常用Cooley-Tukey算法。

（二）復數

復數是形如a+bi的數字，當b=0時為實數，b≠0時為虛數，a=0時為純虛數。

定義一個平面為復平面，那麽平面內的每個點(a,b)唯一對應一個復數a+bi，i可以理解為y軸上的單位長度，正如1是x軸上的單位長度。

i的本質是在數軸上定義旋轉變換，i是1逆時針旋轉90°，那麽i^2=-1。

復數相加，遵循平行四邊形定則。

復數相乘，模長相乘，幅角相加。

（三）單位根

以圓點為起點，以復平面單位圓的n等分點為終點，作n個向量，設所得幅角為正且最小的向量對應的復數為ω(1,n)，即n次單位根。（括號左為上標，右為下標）。

圖片來源：OI 中的 FFT by zball

其中B點是單位根ω(1,n)，逆時針以此為ω(2,n)，ω(3,n)...，ω(n,n)=ω(n,0)=1。

計算公式：ω(k,n)=cos ( 2kπ/n ) + i*sin ( 2kπ/n )

【算法專題】多項式相關