一 歐幾裏得輾轉相除法算法

　　設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，又因 r = a mod b，所以 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。

　　證明：①證明充分性。

　　　　設 d 為 a,b 的公約數，記作 d|a , d|b ，即a和b都可以被d整除

　　　　又因 r=a-kb , 兩邊同時除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右邊可知m為整數， d|r , 即 d 是 (b,a mod b)的公約數，

　　　　②證明必要性

　　　　設 d 為 b, a mod b 的公約數，則 d|b , d|r

　　　　又因 a=r+kb ，所以 d 為 a 的因子，即 d|a ，因此 d 是 a,b 的公約數。

　　　　綜上，(a,b) 和 (b,a mod b) 的公約數一樣，其最大公約數必然相等。

二 擴展歐幾裏得算法

　　如果 gcd(a,b)=d , 那麽一定存在整數 x,y 滿足 ax+by=d.

　　個人並未在網上搜到關於如上定理的嚴格證明，大多的關註點是求 x,y 的值。註意因為這是一個不定方程，所以解不只有一組。如果大家有相關證明可以留言討論。x,y 值的求解：

　　　　設存在 ax+by=gcd(a,b)

　　　　根據歐幾裏得定理 gcd(a,b)=gcd( b,a mod b) ,

　　　　可得 ax+by = gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) = bx′+(a mod b)y′ = bx′+(a?b?[a/b])y′ = ay‘ +b(x‘ - [a/b]y‘)

　　可以看到，x,y 的值由 x‘,y‘ 得出。而 x‘,y‘ 又如何得到？

　　重新來看看我們得到的兩個等式。x 和 y 是 gcd(a,b)=ax+by 的解,而 x’ 和 y’ 是在對 gcd(a,b) 按歐幾裏德算法進行一步後的結果對應的貝祖等式 gcd(b,a mod b)=bx′+(a mod b)y′ 的解。也就是說，gcd(a,b) 對應的貝祖等式的解 x,y 可以由 gcd(b,a mod b) 對應等式的解x’,y’計算得出。

　　由於歐幾裏德算法最後一步為 gcd(d,0)=d，

　　更進一步,對於任意不定式ax′+by′=c,只需要在等式ax+by=gcd(a,b)=d兩邊乘上c/d即可得到解為x′=x?c/d,y′=y?c/d

總結——數論：歐幾裏得算法&擴展歐幾裏得證明