本文是劉汝佳《算法競賽入門經典——訓練指南》的讀書筆記。

解題思路：

　　對於項鏈，它只支持旋轉置換；而手鐲支持旋轉和翻轉。下面由這兩種置換來研究本題。

　　旋轉

　　設順時針旋轉 \(i\) 顆珠子的間距，則珠子 \(0, i, 2i, ...\) 構成一個循環。

　　設每個循環有 \(t\) 顆珠子，則這 \(t\) 顆珠子的編號分別為：\(0, (i \mod n), (2i \mod n), ... [(t-1)i \mod n]\)，我們不能推出：\(ti \mod n = 0\)，即 \(ti = nk, k \in Z\).則\(ti = nk\) 的最小值為 \(lcm(i,n)\)，故由 \(ti = nk = lcm(i,n)\) 得

　　\(ti = \frac{in}{gcd(i,n)}\)

　　\(t = \frac{n}{gcd(i,n)}\)

　　則循環數為\(\frac{n}{t} = gcd(i,n)\).

　　不動點總數為 \(a = \sum_{i=0}^{i=n-1} t^{gcd(i,n)}\).

翻轉

　　分 \(n\) 為奇數偶數兩種情況討論：

　　若 \(n\) 為奇數，則對稱軸有 \(n\) 條，每條對稱軸形成 \(\frac{n-1}{2}\) 個二元循環和 \(1\) 個一元循環，其總循環數為　 \(\frac{n+1}{2}\). 不動點總數為 \(b = nt^{\frac{n+1}{2}}\).

　　若 \(n\) 為偶數，對稱軸有兩種，一種穿過兩個對點，這種對稱軸形成 \(2\) 個一元循環和 \(\frac{n}{2} - 1\) 個二元循環；一種是穿過兩條對邊的中點，這種對稱軸形成 \(\frac{n}{2}\) 個二元循環。兩種對稱軸都有 \(\frac{n}{2}\) 條，則不動點總數為 \(b = \frac{n}{2}(t^{\frac{n}{2}}+t^{\frac{n}{2}+1})\).

　　則項鏈數為 \(\frac{a}{n}\)，手鐲數為 \(\frac{a+b}{2n}\).

AC代碼：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2
 
 
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 ll pows[100];
 6 ll gcd(ll a,ll b){
 7     if(b==0)    return a;
 8     return gcd(b,a%b);
 9 }
10 int main(){
11     ll n,t;
12     while(scanf("%lld%lld",&n,&t)==2){
13         ll xuan=0;
14         pows[0]=1;
15         for(int i=1;i<=n;i++)   pows[i]=pows[i-1]*t;
16         for(ll i=0;i<n;i++){
17             ll g=gcd(i,n);
18             xuan+=pows[g];
19         }
20         ll fan=0;
21         if(n%2==1)
22             fan=pows[(n+1)/2]*n;
23         else
24             fan=(pows[n/2]+pows[n/2+1])*n/2;
25         printf("%lld %lld\n",xuan/n,(fan+xuan)/(2*n));
26 
27     }
28 
29 
30     return 0;
31 }

UVA10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2)