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Description

給出一個\(n(n\leq3\times10^5)\)個數的序列，進行\(m(m\leq3\times10^5)\)次操作，操作有兩種：

• 給區間\([L,R]\)加上一個斐波那契數列，即\(\{a_L,a_{L+1},...,a_R\} \rightarrow \{a_L+F_1,a_{L+1}+F_2,...,a_R+F_{R-L+1}\}\)
• 詢問區間\([L,R]\)的和，對\(10^9+9\)取模。
  斐波那契數列：\(F_1=1,F_2=2\)且滿足\(F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\)。

Solution

容易知道，滿足\(a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\)

• 若\(c_n=a_n+b_n\)，則\(c_1=a_1+b_1,c_2=a_2+b_2,c_{n+2}=c_n+c_{n+1}\)。
• 有通項公式\(a_n=F_{n-2}a_1+F_{n-1}a_2\)。
• 有前綴和公式\(\sum_{i=1}^n a_i=a_{n+2}-a_2\)。

下面依次進行證明。
證明1
\(c_{n+2}=a_{n+2}+b_{n+2}=(a_n+a_{n+1})+(b_n+b_{n+1})=(a_n+b_n)+(a_{n+1}+b_{n+1})=c_n+c_{n+1}\)
證明2
若當\(n\leq k\)時，\(a_n=F_{n-2}a_1+F_{n-1}a_2\)

時間復雜度\(O(mlogn)\)。

Code

//DZY Loves Fibonacci Numbers
#include <cstdio>
inline char gc()
{
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if(S==T) {T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(S==T) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=gc();
    while(ch<‘0‘||‘9‘<ch) {if(ch==‘-‘) f=-1; ch=gc();}
    while(‘0‘<=ch&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=gc();
    return x*f;
}
typedef long long lint;
int const N=3e5+10;
lint const P=1e9+9;
int n,m; lint F[N],a[N];
#define s sg[s0]
struct seg{lint f1,f2,sum;} sg[N*20];
void update(int s0,int len)
{
    s.f1%=P,s.f2%=P;
    s.sum=sg[s0<<1].sum+sg[s0<<1|1].sum+(s.f1*F[len]+s.f2*F[len+1]-s.f2),s.sum%=P;
}
void pushdown(int s0,int L0,int R0)
{
    if(s.f1==0&&s.f2==0) return;
    int mid=L0+R0>>1,Ls0=s0<<1,Rs0=Ls0|1;
    sg[Ls0].f1+=s.f1; sg[Rs0].f1+=s.f1*F[mid-L0]+s.f2*F[mid-L0+1];
    sg[Ls0].f2+=s.f2; sg[Rs0].f2+=s.f1*F[mid-L0+1]+s.f2*F[mid-L0+2];
    s.f1=s.f2=0;
    update(Ls0,mid-L0+1); update(Rs0,R0-mid); 
}
void ins(int s0,int L0,int R0,int L,int R)
{
    if(L<=L0&&R0<=R) {s.f1+=F[L0-L+1],s.f2+=F[L0-L+2],update(s0,R0-L0+1); return;}
    pushdown(s0,L0,R0);
    int mid=L0+R0>>1;
    if(L<=mid) ins(s0<<1,L0,mid,L,R);
    if(mid<R) ins(s0<<1|1,mid+1,R0,L,R);
    update(s0,R0-L0+1);
}
lint query(int s0,int L0,int R0,int L,int R)
{
    if(L<=L0&&R0<=R) return s.sum;
    pushdown(s0,L0,R0);
    lint res=0; int mid=L0+R0>>1;
    if(L<=mid) res+=query(s0<<1,L0,mid,L,R);
    if(mid<R) res+=query(s0<<1|1,mid+1,R0,L,R);
    return res%P;
}
lint sumA[N];
int main()
{
    n=read(),m=read();
    F[1]=F[2]=1; for(int i=3;i<=n+1;i++) F[i]=(F[i-2]+F[i-1])%P;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),sumA[i]=sumA[i-1]+a[i];
    int rt=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int opt=read(),L=read(),R=read();
        if(opt==1) ins(rt,1,n,L,R);
        else printf("%lld\n",(query(rt,1,n,L,R)+sumA[R]-sumA[L-1])%P);
    }
    return 0;
}

P.S.

CF怎麽是個題就要開long long！？
不知道為什麽要求對\(10^9+9\)取模，而不是\(10^9+7\)。

Codeforces446C - DZY Loves Fibonacci Numbers