【bzoj2121】字符串遊戲 區間dp
題目描述
給你一個字符串L和一個字符串集合S，如果S的某個子串在S集合中，那麽可以將其刪去，剩余的部分拼到一起成為新的L串。問：最後剩下的串長度的最小值。輸入
輸入的第一行包含一個字符串，表示L。 第二行包含一個數字n，表示集合S中元素個數。 以下n行，每行一個字符串，表示S中的一個元素。 輸入字符串都只包含小寫字母。輸出
輸出一個整數，表示L的最短長度。
樣例輸入
aaabccd
3
ac
abc
aaa
樣例輸出
2
題解
我們考慮：每次刪除連續的一段，對應到原串上即：刪除 $[l,r]$ 中所有未被刪除的字符。其中 $l,r$ 都未被刪除。
這樣就相當於選擇若幹區間來刪除。
註意到選擇的任意兩個區間要麽包含要麽不相交（相離），對於相鄰的相離的也可以看作是包含（右區間左端點看作是左區間左端點，即一個空位置），因此只有包含關系。
那麽如下圖：
先選擇 $[b,c]$ 的串 $S$ ，再選擇 $[a,d]$ 的串 $T$ ，可以看作是處理出 $[a,b)$ 能夠匹配到 $T$ 的中間位置，$[b,c]$ 能夠匹配到 $S$ 的結束位置（即刪除掉），進而推知 $[a,c]$ 能夠匹配到 $T$ 的中間位置，再向右匹配得知 $[a,d]$ 能夠匹配到 $T$ 的結束位置。
考慮區間dp。設 $f[l][r]$ 表示 $[l,r]$ 是否可以全部刪掉，再設 $g[l][r][i][j]$ 表示 $[l,r]$ 是否能夠刪成第 $i$ 個字符串的前 $j$ 個字符。
那麽考慮區間 $[l,r]$ ，如果進行匹配的話轉移為 $g[l][r][i][j]=g[l][r-1][i][j-1]$ ，前提條件 $str[r]==w[i][j]$ ，即區間右端點和第 $i$ 個串的第 $j$ 個字符相同。
如果不進行匹配的話，$r$ 一定在某個 $[k,r]$ 中被消掉，因此枚舉 $k\in[l,r]$ ，轉移為 $g[l][r][i][j]=g[l][k-1][i][j]\&\&f[k][r]$ 。
根據 $f$ 的定義有轉移 $f[l][r]=g[l][r][i][len[i]]$ 。
這樣我們就能夠推出 $f$ 和 $g$ 。
再考慮答案：設 $h[i]$ 表示前 $i$ 個字符的答案，那麽 $h[i]=h[i-1]+1$ ；如果某個 $j$ 滿足 $f[j][i]=1$ ，即 $[j,i]$ 能刪掉，則還有 $h[i]=h[j-1]$ 。
最終答案就是 $h[n]$ 。
時間復雜度 $O(n^3·m·len)$
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool f[155][155] , g[155][155][35][25];
char str[155] , w[35][25];
int c[35] , ans[155];
int main()
{
int n , m , len , l , r , i , j , k;
scanf("%s%d" , str + 1 , &m) , n = strlen(str + 1);
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%s" , w[i] + 1) , c[i] = strlen(w[i] + 1);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
f[i][i - 1] = 1;
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
g[i][i - 1][j][0] = 1;
}
for(len = 1 ; len <= n ; len ++ )
{
for(l = 1 ; l <= n - len + 1 ; l ++ )
{
r = l + len - 1;
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
{
for(j = 1 ; j <= c[i] ; j ++ )
if(str[r] == w[i][j])
g[l][r][i][j] |= g[l][r - 1][i][j - 1];
for(j = 0 ; j <= c[i] ; j ++ )
for(k = l ; k <= r ; k ++ )
g[l][r][i][j] |= g[l][k - 1][i][j] & f[k][r];
}
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) f[l][r] |= g[l][r][i][c[i]];
}
}
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
ans[i] = ans[i - 1] + 1;
for(j = 1 ; j <= i ; j ++ )
if(f[j][i])
ans[i] = min(ans[i] , ans[j - 1]);
}
printf("%d\n" , ans[n]);
return 0;
}
【bzoj2121】字符串遊戲 區間dp