題目描述

　　對於置換\(p\)，定義\(f(p)\)為最小的正整數\(k\)，使得\(p^k\)為恒等置換。

　　你需要求對於所有的\(n\)元素置換\(p\)，\(f^2(p)\)的平均值。

　　\(n\leq 200\)

題解

　　考慮把置換拆成很多個循環。

　　\(f(p)\)就是所有循環的長度的\(lcm\)

　　可以考慮DP，設\(f_{i,j}\)為放了\(i\)個位置，當前所有循環長度的\(lcm\)的狀態為\(j\)（每個質因子的最高次冪是多少）。

　　但是狀態數會很多

　　有一個微小的技巧，考慮到每個循環長度的質因子最多只有一個\(>\sqrt n\)，那麽可以把最大值因子相同的項拿出來一起處理，小的質因子就壓成狀態。

　　這個技巧很常見，比如說這道題NOI2015壽司晚宴。

　　這樣狀態數就只有不到\(5000\)個了。

　　當然，可以把不存在的狀態刪掉，就只剩下\(2000\)個了。

　　轉移的話，設當前已經放了\(i\)個數，每次枚舉放幾個循環\(j\)（這些循環的長度相同），每個循環的長度為\(k\)，那麽方案數就是
\[ \frac{(n-i)!}{(n-i-kl)!k^ll!} \]
　　具體來說，第一次放的位置的數是\(\binom{n-i}{k}\)，第二次是\(\binom{n-i-k}{k}\)，以此類推。每個循環的方案數是\((k-1)!\)。最後方案可能會重復，就要除以\(l!\)。

　　時間復雜度：\(狀態數O(n^2\log n\times 狀態數)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int p;
int fac[210];
int inv[210];
int ifac[210];
int n;
int getc(int x,int y)
{
    if(x<y)
        return 0;
    if(y<0)
        return
 
 0;
    return fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p;
}
void add(int &a,int b)
{
    a=(a+b)%p;
}
int f[2100][210];
int g[2100][210];
struct num
{
    int id,x;
    int s1,s2,s3,s4,s5,s6;
};
num a[210];
int pri[]={0,2,3,5,7,11,13};
int cmp(num a,num b)
{
    return a.x<b.x;
}
int p1[]={0,2,4,8,16,32,64,128};
int p2[]={0,3,9,27,81};
int p3[]={0,5,25,125};
int p4[]={0,7,49};
int p5[]={0,11,121};
int p6[]={0,13,169};

int p21[]={1,2,4,8,16,32,64,128};
int p22[]={1,3,9,27,81};
int p23[]={1,5,25,125};
int p24[]={1,7,49};
int p25[]={1,11,121};
int p26[]={1,13,169};
int id[8][5][4][3][3][3];
struct node
{
    int a1,a2,a3,a4,a5,a6;
    int s;
};
node c[2100];
int s[210][210];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("c.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&p);
    int i1,i2,i3,i4,i5,i6;
    int cnt=0;
    for(i1=0;i1<=7;i1++)
        for(i2=0;i2<=4;i2++)
            for(i3=0;i3<=3;i3++)
                for(i4=0;i4<=2;i4++)
                    for(i5=0;i5<=2;i5++)
                        for(i6=0;i6<=2;i6++)
                            if(p1[i1]+p2[i2]+p3[i3]+p4[i4]+p5[i5]+p6[i6]<=n)
                            {
                                cnt++;
                                c[cnt].a1=i1;
                                c[cnt].a2=i2;
                                c[cnt].a3=i3;
                                c[cnt].a4=i4;
                                c[cnt].a5=i5;
                                c[cnt].a6=i6;
                                c[cnt].s=(ll)p21[i1]*p22[i2]*p23[i3]*p24[i4]*p25[i5]*p26[i6]%p;
                                id[i1][i2][i3][i4][i5][i6]=cnt;
        //                      printf("%04d %d %d %d %d %d %d\n",++cnt,i1,i2,i3,i4,i5,i6);
                            }
    int i,j,k,l;
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=(ll)-p/i*inv[p%i]%p;
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%p;
        ifac[i]=(ll)ifac[i-1]*inv[i]%p;
    }
    f[1][0]=fac[n];
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        k=i;
        while(k%2==0)
        {
            k/=2;
            a[i].s1++;
        }
        while(k%3==0)
        {
            k/=3;
            a[i].s2++;
        }
        while(k%5==0)
        {
            k/=5;
            a[i].s3++;
        }
        while(k%7==0)
        {
            k/=7;
            a[i].s4++;
        }
        while(k%11==0)
        {
            k/=11;
            a[i].s5++;
        }
        while(k%13==0)
        {
            k/=13;
            a[i].s6++;
        }
        a[i].x=k;
        a[i].id=i;
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i][0]=1;
        for(j=1;j<=n;j++)
            s[i][j]=(ll)s[i][j-1]*ifac[a[i].id]%p*fac[a[i].id-1]%p;
        for(j=1;j<=n;j++)
            s[i][j]=(ll)s[i][j]*ifac[j]%p;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i].x==1||i==1||a[i].x!=a[i-1].x)
            memcpy(g,f,sizeof g);
        for(l=cnt;l>=1;l--)
        {
            int a1=max(a[i].s1,c[l].a1);
            int a2=max(a[i].s2,c[l].a2);
            int a3=max(a[i].s3,c[l].a3);
            int a4=max(a[i].s4,c[l].a4);
            int a5=max(a[i].s5,c[l].a5);
            int a6=max(a[i].s6,c[l].a6);
            int v=id[a1][a2][a3][a4][a5][a6];
            for(k=n;k>=0;k--)
                if(g[l][k])
                    for(j=1;k+j*a[i].id<=n;j++)
                        add(g[v][k+a[i].id*j],(ll)g[l][k]*s[i][j]%p);
        }
        if(a[i].x==1||i==n||a[i].x!=a[i+1].x)
        {
            int b=a[i].x*a[i].x%p;
            for(l=1;l<=cnt;l++)
                for(k=1;k<=n;k++)
                    add(f[l][k],(ll)(g[l][k]-f[l][k])*b%p);
        }
    }
    int ans=0;
    for(l=1;l<=cnt;l++)
        add(ans,(ll)f[l][n]*c[l].s%p*c[l].s%p);
    ans=(ll)ans*ifac[n]%p;
    ans=(ans+p)%p;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

【XSY2703】置換 數學 置換 DP