高爾頓釘板與二項分布
阿新 • • 發佈：2018-03-17
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到這裏，我不禁想起了楊輝三角，它的每個節點都是父節點的和。如下圖所示。
而我們知道，楊輝三角的每排的表示方法是用的二項展開式。上圖的第四排就可以看成C30, C31, C32 , C33
而我們的高爾頓板，每次相加之後還要除以2，於是在Cnk的基礎上，我們要把它的每項除以2n
今天數學課上老師說高爾頓釘板符合高斯分布，然而直覺告訴我這是二項分布，只是二項分布的概率密度函數可以用高斯分布近似而已，其實和高斯分布(正態分布)沒什麽關系。
上圖是書上的原圖，如果我們把它的結構抽象成樹的形式，就是下圖，其中小球落入最上面孔的概率是1，從最上面落入下面兩個子節點的概率分別為1/2，子節點同樣的分為1/4和1/4。而第三排第二個節點處，球可以從其兩個父節點落入，所以落入【3,2】的概率是兩個1/4的和,即1/2 。總結規律，我們可以看到，這棵樹的每一個節點都是父節點（有的只有一個，比如邊上兩排，有的有兩個比如中間的節點）的和的1/2 。比如第四排第二個的權重3/8就是其父節點1/4以及1/2的和的一半，第四排最後一個節點是其父節點1/4的一半，1/8 。
到這裏，我不禁想起了楊輝三角，它的每個節點都是父節點的和。如下圖所示。
而我們知道，楊輝三角的每排的表示方法是用的二項展開式。上圖的第四排就可以看成C30, C31, C32 , C33
而我們的高爾頓板，每次相加之後還要除以2，於是在Cnk的基礎上，我們要把它的每項除以2n
= Cnk(1/2)k·(1/2)n-k
於是我們可以得出結論，高爾頓板的結果是X～B(n, 1/2)，服從二項分布。
高爾頓釘板與二項分布