【BZOJ4540】【HNOI2016】序列（莫隊）

題面

BZOJ
洛谷

Description

　　給定長度為n的序列：a1,a2,…,an，記為a[1:n]。類似地，a[l:r]（1≤l≤r≤N）是指序列：al,al+1,…,ar-
1,ar。若1≤l≤s≤t≤r≤n，則稱a[s:t]是a[l:r]的子序列。現在有q個詢問，每個詢問給定兩個數l和r，1≤l≤r
≤n，求a[l:r]的不同子序列的最小值之和。例如，給定序列5,2,4,1,3，詢問給定的兩個數為1和3，那麽a[1:3]有
6個子序列a[1:1],a[2:2],a[3:3],a[1:2],a[2:3],a[1:3]，這6個子序列的最小值之和為5+2+4+2+2+2=17。

Input

　　輸入文件的第一行包含兩個整數n和q，分別代表序列長度和詢問數。接下來一行，包含n個整數，以空格隔開
,第i個整數為ai，即序列第i個元素的值。接下來q行，每行包含兩個整數l和r，代表一次詢問。

Output

　　對於每次詢問，輸出一行，代表詢問的答案。

Sample Input

5 5

5 2 4 1 3

1 5

1 3

2 4

3 5

2 5

Sample Output

28

17

11

11

17

HINT

1 ≤N,Q ≤ 100000,|Ai| ≤ 10^9

題解

我其實本來不想寫莫隊來著
但是在網上找題解都是莫隊
無奈。。。我也寫莫隊。。

莫隊的重點就在於怎麽\(O(1)\)轉移狀態

假設我們已經求出了\([L+1,R]\)的答案
現在要擴展到\([L,R]\)
考慮新產生的\([L..L],[L..L+1]...,[L...R]\)的答案
我們先找到這段區間的最小值，假設其位置是\(p\)
那麽右端點在\([p,R]\)的子序列的貢獻都是\(a[p]\)
接下來呢？把\([L,p-1]\)繼續考慮？
但是我們要做到轉移\(O(1)\)，所以考慮怎麽優化
我們設\(f[i]\)表示確定左端點為\(i\)時，到後面所有位置的貢獻
利用單調棧求出右側第一個比\(i\)位置小的數的位置\(R[i]\)
\([i,R[i]-1]\)的貢獻就是\(a[i]\)，而\([R[i],n]\)

考慮右側的貢獻同理

綜上，時間復雜度\(O(n\sqrt{n})\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 111111
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,q,blk;
int L[MAX],R[MAX],S[MAX],top,a[MAX],lg[MAX];
ll f[MAX],g[MAX],ans[MAX],Ans;
struct Query{int i,l,r,blk;}Q[MAX];
bool operator<(Query a,Query b){if(a.blk!=b.blk)return a.blk<b.blk;return a.r<b.r;}
struct STable
{
    int p[18][MAX];
    void pre()
    {
        for(int j=1;j<=lg[n];++j)
            for(int i=1;i+(1<<(j-1))<=n;++i)
                p[j][i]=a[p[j-1][i]]<=a[p[j-1][i+(1<<(j-1))]]?p[j-1][i]:p[j-1][i+(1<<(j-1))];
    }
    int Query(int l,int r)
    {
        int k=lg[r-l+1];
        return a[p[k][l]]<=a[p[k][r-(1<<k)+1]]?p[k][l]:p[k][r-(1<<k)+1];
    }
}ST;
ll CalcL(int l,int r)
{
    int p=ST.Query(l,r);
    return 1ll*(r-p+1)*a[p]+g[l]-g[p];
}
ll CalcR(int l,int r)
{
    int p=ST.Query(l,r);
    return 1ll*(p-l+1)*a[p]+f[r]-f[p];
}
int main()
{
    n=read();q=read();blk=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(top&&a[S[top]]>a[i])--top;
        L[i]=S[top];
        S[++top]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=f[L[i]]+1ll*(i-L[i])*a[i];
    S[top=0]=n+1;
    for(int i=n;i;--i)
    {
        while(top&&a[S[top]]>a[i])--top;
        R[i]=S[top];
        S[++top]=i; 
    }
    for(int i=n;i>=1;--i)g[i]=g[R[i]]+1ll*(R[i]-i)*a[i];
    for(int i=1;i<=q;++i)
    {
        int l=read(),r=read();
        Q[i]=(Query){i,l,r,(l-1)/blk};
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)ST.p[0][i]=i;
    for(int i=2;i<=n;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1;
    ST.pre();
    sort(&Q[1],&Q[q+1]);
    for(int i=1,L=1,R=0;i<=q;++i)
    {
        while(R<Q[i].r)Ans+=CalcR(L,++R);
        while(L>Q[i].l)Ans+=CalcL(--L,R);
        while(R>Q[i].r)Ans-=CalcR(L,R--);
        while(L<Q[i].l)Ans-=CalcL(L++,R);
        ans[Q[i].i]=Ans;
    }
    for(int i=1;i<=q;++i)printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}

【BZOJ4540】【HNOI2016】序列（莫隊）