整數快速冪與矩陣快速冪算法詳解
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矩陣快速冪基礎講解1.基礎知識儲備篇
矩陣的相關運算會再線性代數中學到。
1.1矩陣的定義：
? N階方陣（N階矩陣）：行數m與列數n相同的矩陣，如下圖所示就是一個44的方陣：*
行矩陣（行向量）：只有一行的矩陣，下圖就是一個行矩陣：
? 
列矩陣（列向量）：只有一列的矩陣，下圖就是一個列矩陣：
?
同型矩陣：設先有矩陣A和矩陣B，矩陣A的行數與列數和矩陣B的相同，則矩陣A、B是同型矩陣。
?
單位矩陣：在矩陣的乘法中，有一種矩陣起著特殊的作用，如同數的乘法中的1,這種矩陣被稱為單位矩陣．它是個方陣，從左上角到右下角的對角線（稱為主對角線）上的元素均為1。除此以外全都為0。如下圖所示是一個3階的單位矩陣。
···
1.2矩陣的相關運算：
矩陣加法：
矩陣乘法
2.矩陣快速冪引入篇
整數快速冪：
為了引出矩陣的快速冪，以及說明快速冪算法的好處，我們可以先求整數的冪。
如果現在要算X^8：則 XXXXXXXX 按照尋常思路，一個一個往上面乘，則乘法運算進行7次。
(XX)(XX)(XX)(XX)
這種求法，先進行乘法得X^2,然後對X^2再執行三次乘法，這樣去計算，則乘法運算執行4次。已經比七次要少。所以為了快速算的整數冪，就會考慮這種結合的思想。
現在要考慮應該怎麽分讓計算比較快。接下來計算整數快速冪。例如：X^19次方。
19的二進制為：1 0 0 1 1 。
由(X^m)(X^n) = X^(m+n)
則X^19 = (X^16)
那麽怎麽來求解快速冪呢。請看下列代碼：
求解X^N的值。
///整數快速冪，計算x^N
int QuickPow(int x,int N)
{
int res = x;
int ans = 1;
while(N)
{
if(N&1)
{
ans = ans * res;
}
res = res*res;
N = N>>1;
}
return ans;
}那麽讓我們來看看下面這段代碼到底對不對：
對於X^19來說：
19的二進制為：1 0 0 1 1
初始：
ans = 1; res = x;則10011最後一位是1，所以是奇數。
ans = res*ans = x;
res = res*res = x^2;然後右移一位，1 0 0 1
則1001最後一位是1，所以是奇數
ans = res*ans = x*(x^2) = x^3
res = res*res = x^2*x^2 = x^4然後右移一位，1 0 0
則最後一位是0，所以當前的數為偶數。
res = res*res = x^4*x^4 = x^8然後右移一位，1 0
最後一位是0，當前數是偶數。
res = res*res =x^8*x^8= x^16然後右移一位，1
最後一位是1，當前數是奇數
ans = ans*res = (x^3)*（x^16） = x^19
res = res*res = x^32可以看出res = X^m,m 始終是與二進制位置上的權值是相對應的。當二進制位為0時，我們只讓resres使冪指數2.對應下一個二進制位的權值，當二進制位為1時，ans = ans*res 。則乘上了該乘的X冪次。
2.矩陣快速冪算法篇
看了一個整數數的快速冪，現在我們就正式介紹矩陣快速冪算法。假如現在有一個n*n的方陣A。所謂方陣就是行數和列數相等的矩陣，先給出一個數M，讓算矩陣A的M次冪，A^M.在此只要求計算並不需要去深究這個矩陣到底是什麽含義。則上面代碼可以化為。
上面只是簡單的計算矩陣的冪，大家會感覺很抽象，因為上述矩陣並沒有具體的含義，
現在就舉例說明矩陣快速冪在實際運用中的意義：
以最常見的斐波那契數列為例：眾所周知：斐波那契數列遞推公式為：
F[n] = F[n-1] + F[n-2]. 由f[0]=0,f[1]=1,可以遞推後面的所有數。
在以前，我們會常常用for循環，這是最直接的算法。
POJ 3070 題目，讓求斐波那契數列，其n更是高達10億。
直接遞推的局限性：
（1）本題讓你遞推的斐波那契數n高達10億。測試時間僅1秒的時間，for循環用遞推公式遞歸導致超時。
（2）想要打表實現隨機訪問根本不可能，先把斐波那契數列求到10億，然後想去進行隨機訪問。題目未給出那麽多內存，數組也開不到10億。
因此它可以用矩陣快速冪來寫。
觀察f[n] = f[n-1]+f[n-2] 第n相是由第n-1項和第n-2項遞推而來。
同理，第n+1項由第n項和第n-1項遞推而來。
因此可以用矩陣表示：
則，知道f[n-1]、f[n-2]則乘上左方矩陣，就能得到等號左側矩陣，第一個位置
即為要求的f[n]。
整數快速冪與矩陣快速冪算法詳解