極大似然估計與貝葉斯定理
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貝葉斯定理-形象解釋看這篇文章:https://www.zhihu.com/question/19725590/answer/217025594
極大似然估計
以前多次接觸過極大似然估計,但一直都不太明白到底什麽原理,最近在看貝葉斯分類,對極大似然估計有了新的認識,總結如下:
貝葉斯決策
首先來看貝葉斯分類,我們都知道經典的貝葉斯公式:
其中:p(w):為先驗概率,表示每種類別分布的概率;
我們來看一個直觀的例子:已知:在夏季,某公園男性穿涼鞋的概率為1/2,女性穿涼鞋的概率為2/3,並且該公園中男女比例通常為2:1,問題:若你在公園中隨機遇到一個穿涼鞋的人,請問他的性別為男性或女性的概率分別為多少?
從問題看,就是上面講的,某事發生了,它屬於某一類別的概率是多少?即後驗概率。
設:
由已知可得:
男性和女性穿涼鞋相互獨立,所以
(若只考慮分類問題,只需要比較後驗概率的大小,的取值並不重要)。
由貝葉斯公式算出:
問題引出
但是在實際問題中並不都是這樣幸運的,我們能獲得的數據可能只有有限數目的樣本數據,而先驗概率和類條件概率(各類的總體分布)都是未知的。根據僅有的樣本數據進行分類時,一種可行的辦法是我們需要先對先驗概率和類條件概率進行估計,然後再套用貝葉斯分類器。
先驗概率的估計較簡單,1、每個樣本所屬的自然狀態都是已知的(有監督學習);2、依靠經驗;3、用訓練樣本中各類出現的頻率估計。
類條件概率的估計(非常難),原因包括:概率密度函數包含了一個隨機變量的全部信息;樣本數據可能不多;特征向量x的維度可能很大等等。總之要直接估計類條件概率的密度函數很難。解決的辦法就是,把估計完全未知的概率密度
重要前提
上面說到,參數估計問題只是實際問題求解過程中的一種簡化方法(由於直接估計類條件概率密度函數很困難)。所以能夠使用極大似然估計方法的樣本必須需要滿足一些前提假設。
重要前提:訓練樣本的分布能代表樣本的真實分布。每個樣本集中的樣本都是所謂獨立同分布的隨機變量 (iid條件),且有充分的訓練樣本。
極大似然估計
極大似然估計的原理,用一張圖片來說明,如下圖所示:
總結起來,最大似然估計的目的就是:利用已知的樣本結果,反推最有可能(最大概率)導致這樣結果的參數值。
原理:極大似然估計是建立在極大似然原理的基礎上的一個統計方法,是概率論在統計學中的應用。極大似然估計提供了一種給定觀察數據來評估模型參數的方法,即:“模型已定,參數未知”。通過若幹次試驗,觀察其結果,利用試驗結果得到某個參數值能夠使樣本出現的概率為最大,則稱為極大似然估計。
由於樣本集中的樣本都是獨立同分布,可以只考慮一類樣本集D,來估計參數向量θ。記已知的樣本集為:
似然函數(linkehood function):聯合概率密度函數稱為相對於的θ的似然函數。
如果是參數空間中能使似然函數最大的θ值,則應該是“最可能”的參數值,那麽就是θ的極大似然估計量。它是樣本集的函數,記作:
求解極大似然函數
ML估計:求使得出現該組樣本的概率最大的θ值。
實際中為了便於分析,定義了對數似然函數:
1. 未知參數只有一個(θ為標量)
在似然函數滿足連續、可微的正則條件下,極大似然估計量是下面微分方程的解:
2.未知參數有多個(θ為向量)
則θ可表示為具有S個分量的未知向量:
記梯度算子:
若似然函數滿足連續可導的條件,則最大似然估計量就是如下方程的解。
方程的解只是一個估計值,只有在樣本數趨於無限多的時候,它才會接近於真實值。
極大似然估計的例子
例1:設樣本服從正態分布,則似然函數為:
它的對數:
求導,得方程組:
聯合解得:
似然方程有唯一解:,而且它一定是最大值點,這是因為當或時,非負函數。於是U和的極大似然估計為。
例2:設樣本服從均勻分布[a, b]。則X的概率密度函數:
對樣本:
很顯然,L(a,b)作為a和b的二元函數是不連續的,這時不能用導數來求解。而必須從極大似然估計的定義出發,求L(a,b)的最大值,為使L(a,b)達到最大,b-a應該盡可能地小,但b又不能小於,否則,L(a,b)=0。類似地a不能大過,因此,a和b的極大似然估計:
總結
求最大似然估計量的一般步驟:
(1)寫出似然函數;
(2)對似然函數取對數,並整理;
(3)求導數;
(4)解似然方程。
最大似然估計的特點:
1.比其他估計方法更加簡單;
2.收斂性:無偏或者漸近無偏,當樣本數目增加時,收斂性質會更好;
3.如果假設的類條件概率模型正確,則通常能獲得較好的結果。但如果假設模型出現偏差,將導致非常差的估計結果。
極大似然估計與貝葉斯定理