割點算法

• 在一個無向連通圖中，如果刪除某個頂點後，圖不再連通（即任意兩點之間不能相互到達），我們稱這樣的頂點為割點（或者稱割頂）。

判斷一個頂點是不是割點除了從定義，還可以從DFS（深度優先遍歷）的角度出發。我們先通過DFS定義兩個概念。

假設DFS中我們從頂點U訪問到了頂點V（此時頂點V還未被訪問過），那麽我們稱頂點U為頂點V的父頂點，V為U的孩子頂點。在頂點U之前被訪問過的頂點，我們就稱之為U的祖先頂點。

顯然如果頂點U的所有孩子頂點可以不通過父頂點U而訪問到U的祖先頂點，那麽說明此時去掉頂點U不影響圖的連通性，U就不是割點。相反，如果頂點U至少存在一個孩子頂點，必須通過父頂點U才能訪問到U的祖先頂點，那麽去掉頂點U後，頂點U的祖先頂點和孩子頂點就不連通了，說明U是一個割點。

上圖中的箭頭表示DFS訪問的順序（而不表示有向圖），對於頂點D而言，D的孩子頂點可以通過連通區域1紅色的邊回到D的祖先頂點C（此時C已被訪問過），所以此時D不是割點。

上圖中的連通區域2中的頂點，必須通過D才能訪問到D的祖先頂點，所以說此時D為割點。再次強調一遍，箭頭僅僅表示DFS的訪問順序，而不是表示該圖是有向圖。

這裏我們還需要考慮一個特殊情況，就是DFS的根頂點（一般情況下是編號為0的頂點），因為根頂點沒有祖先頂點。其實根頂點是不是割點也很好判斷，如果從根頂點出發，一次DFS就能訪問到所有的頂點，那麽根頂點就不是割點。反之，如果回溯到根頂點後，還有未訪問過的頂點，需要在鄰接頂點上再次進行DFS，根頂點就是割點。

Tarjan算法的實現細節

在具體實現Tarjan算法上，我們需要在DFS（深度優先遍歷）中，額外定義兩個數組dfn[]，low[]。

4.1 num數組
num數組的下標表示頂點的編號，數組中的值表示該頂點在DFS中的遍歷順序(或者說時間戳)，每訪問到一個未訪問過的頂點，訪問順序的值（時間戳）就增加1。子頂點的num值一定比父頂點的num值大（但不一定恰好大1，比如父頂點有兩個及兩個以上分支的情況）。在訪問一個頂點後，它的dfn的值就確定下來了，不會再改變。

4.2 low數組

low數組的下標表示頂點的編號，數組中的值表示DFS中該頂點不通過父頂點能訪問到的祖先頂點中最小的順序值（或者說時間戳）。

每個頂點初始的low值和dfn值應該一樣，在DFS中，我們根據情況不斷更新low的值。

假設由頂點U訪問到頂點V。當從頂點V回溯到頂點U時，

如果

num[v] < low[u]

那麽

low[u] = num[v]

如果頂點U還有它分支，每個分支回溯時都進行上述操作，那麽頂點low[u]就表示了不通過頂點U的父節點所能訪問到的最早祖先節點。

4.4 一個具體的例子

現在我們來看一個例子，模仿程序計算各個頂點的num值和low值。下圖中藍色實線箭頭表示已訪問過的路徑，無箭頭虛線表示未訪問路徑。已訪問過的頂點用黃色標記，未訪問的頂點用白色標記，DFS當前正在處理的頂點用綠色表示。帶箭頭的藍色虛線表示DFS回溯時的返回路徑。

基本思路：

假如我們在dfs時訪問到了u點，此時圖就會被u點分割成為兩部分。一部分是已經被訪問過的點，另一部分是沒有被訪問過的點。如果u點是割點，那麽剩下的沒有被訪問過的點中至少有一個點在不經過u點的情況下，是無論如何再也回不到已經訪問過的點了。假如到了u後，圖中還有頂點v是沒有訪問過的點，如何判斷v在不經過u的情況下是否還能回到之前訪問過的任意一個點？u是v的父親，而之前訪問過的頂點就是祖先。也就是如何檢測v在不經過父親u的情況下還能否回到祖先。那就是對v再進行一次dfs，但此次遍歷不經過u，看能否回到祖先。不能u即為割點。

我們需要一個數組low來記錄每個頂點在不經過父頂點時，能夠回到的最小“時間戳”。

對於某個頂點u，如果存在至少一個頂點v（u的兒子），使得low[v]>=num[u]，即不能回到祖先，那麽u點為割點。

參考資料

[1] 小地盤, 圖的割點算法vs割邊算法
[2] Trent, 求無向圖聯通圖的割點
[3] GeeksforGeeks, Articulation Points (or Cut Vertices) in a Graph.

圖的割點算法、圖的割邊算法