連分數的性質
阿新 • • 發佈：2018-04-28
連分數性質；連分數應用；大概：連分數應用於數值表示、近似計算、方程求解等方面。文章就此討論證明連分數的某些性質。
首先讓我們一起回溫下數學歸納法：
數學歸納法：(證明高斯求和公式)
1， 基礎情況:s(1)
2， 歸納假設:s(k)
已知：
假設n=k：
此時將n=k+1帶入s(n)中驗證可得：
It’s amazing!
下面就進入我們主題，有意思的連分數：
連分數定義：
形如：
表達式，我們稱之為連分數
稱作 部分商，可以是實數或復數。項數可以有限，也可以無限。具體[1]。
一般地
，我們稱
為第k位漸近分數，其中 
和
互質。
簡單有窮連分數性質：
首先讓我們一起回溫下數學歸納法：
數學歸納法：(證明高斯求和公式)
1， 基礎情況:s(1)
2， 歸納假設:s(k)
已知：
假設n=k：
此時將n=k+1帶入s(n)中驗證可得：
It’s amazing!
下面就進入我們主題，有意思的連分數：
連分數定義：
形如：
表達式，我們稱之為連分數
稱作 部分商，可以是實數或復數。項數可以有限，也可以無限。具體[1]。 一般地
，我們稱為第k位漸近分數，其中 和互質。
接下來用數學歸納法進行證明：
Base case:
證明結束！
接下來用數學歸納法進行證明：
Base case:
簡單有窮連分數性質：
小結：
連分數中，漸近分數分母一直增大，而相鄰分數差愈小，另外偶數項部分，呈現單調增，奇數項部分，單調減。
應用：
小結：
有理數可表示為有限簡單連分數。
無理數可表示為無限簡單連分數。
循環簡單連分數所表示無理數是二次無理數。
有趣一刻：
在《Proofs that Really Count》中利用組合學給出的相應的解釋，在此就不敘述了。
參考文獻：
[1] 連分數及其基本性質 .何雅
[2] 論連分數的應用.於海傑
[3] 連分數的一個性質以及它的組合解釋
http://www.matrix67.com/blog/archives/5556
[4] 連分數的一個性質以及它的組合解釋
連分數的性質