概念：

首先，同余是數論中一個非常重要的內容，我們信息學中的數論無非就是圍繞著素數和同余等轉來轉去，沒有紮實的數學基本功，信息奧賽這條路也絕對走不遠。

同余的定義：有兩整數a，b，若它們除以整數m所得的余數相等，則稱a與b對於模m同余或a同余於b模m

記作：$a\equiv b \pmod{m}$

再簡單點說，對於兩個數a，b，a/m=x···r，b/m=y···r，這兩個表達式的余數相同，就說a和b關於模m同余。例如，34/7=4···6，20/7=2···6，34和20除以7得到的余數相同，都是6，就是34和20關於模7同余。很簡單吧。

下面要用到的：$(a,b)$表示a和b的最大公約數，類似的，$[a,b]$表示a和b的最小公倍數

同余的十條性質：

1. 若 $a\equiv b \pmod{m}$，則$b\equiv a \pmod{m}$
2. 若 $a\equiv b \pmod{m}$，$b\equiv c \pmod{m}$，則$a\equiv c \pmod{m}$
3. 若 $a_1\equiv b_1 \pmod{m}$，$a_2\equiv b_2 \pmod{m}$，則$a_1+a_2\equiv b_1+b_2 \pmod{m}$
4. 若 $a+b\equiv c \pmod{m}$，則$a\equiv c-b \pmod{m}$
5. 若 $a\equiv b \pmod{m}$，並且$a=a_1d$，$b=b_1d$，$(d,m)$=1，則$a_1\equiv b_1 \pmod{m}$ 證明一下？可知$a-b\equiv 0 \pmod{m}$，$a_1d-b_1d\equiv 0 \pmod{m}$，則$d(a_1d-b_1)\equiv 0 \pmod{m}$，$m\mid a_1d-b_1$_，所以$m\mid a_1d-b_1$
   
6. 若 $a\equiv b \pmod{m}$，k>0，則$ak\equiv bk \pmod{mk}$
7. 若 $a\equiv b \pmod{m}$，d是a，b及m的任意整數，$ \frac{a}{b}\equiv \frac{b}{d} \pmod{\frac{m}{d}} $
8. 若 $a\equiv b \pmod{mi}$，i=1,2···k，則$a\equiv b \pmod{[m_1,m_2\ldots m_k]}$
9. 若 $a\equiv b \pmod{m}$，d$\mid$m，d>0，則$a\equiv b \pmod{d}$
   
10. 若 $a\equiv b \pmod{m}$，則$(a,m)=(b,m)$，若d$\mid$m及a,b二數之一，則d$\mid$a,b另一個

同余的概念、十條性質及應用