【題目描述：】

小淵和小軒是好朋友也是同班同學，他們在一起總有談不完的話題。一次素質拓展活動中，班上同學安排做成一個m行n列的矩陣，而小淵和小軒被安排在矩陣對角線的兩端，因此，他們就無法直接交談了。幸運的是，他們可以通過傳紙條來進行交流。紙條要經由許多同學傳到對方手裏，小淵坐在矩陣的左上角，坐標(1,1)，小軒坐在矩陣的右下角，坐標(m,n)。從小淵傳到小軒的紙條只可以向下或者向右傳遞，從小軒傳給小淵的紙條只可以向上或者向左傳遞。

在活動進行中，小淵希望給小軒傳遞一張紙條，同時希望小軒給他回復。班裏每個同學都可以幫他們傳遞，但只會幫他們一次，也就是說如果此人在小淵遞給小軒紙條的時候幫忙，那麽在小軒遞給小淵的時候就不會再幫忙。反之亦然。

還有一件事情需要註意，全班每個同學願意幫忙的好感度有高有低（註意：小淵和小軒的好心程度沒有定義，輸入時用0表示），可以用一個0-100的自然數來表示，數越大表示越好心。小淵和小軒希望盡可能找好心程度高的同學來幫忙傳紙條，即找到來回兩條傳遞路徑，使得這兩條路徑上同學的好心程度只和最大。現在，請你幫助小淵和小軒找到這樣的兩條路徑。

【輸入格式：】

輸入文件message.in的第一行有2個用空格隔開的整數m和n，表示班裏有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下來的m行是一個m*n的矩陣，矩陣中第i行j列的整數表示坐在第i行j列的學生的好心程度。每行的n個整數之間用空格隔開。

【輸出格式：】

輸出文件message.out共一行，包含一個整數，表示來回兩條路上參與傳遞紙條的學生的好心程度之和的最大值。

輸入樣例#1： 
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
輸出樣例#1： 
34

[算法分析：]

設f[i][j][k][l]表示小淵走到點(i, j)小軒走到點(k, l)時的最大好心度之和

a[i][j]表示點(i, j)上的同學的好心度

則狀態轉移方程為：

　　f[i][j][k][l] = max{f[i - 1][j][k - 1][l], f[i - 1][j][k][l - 1], f[i][j - 1][k - 1][l], f[i][j - 1][k][l - 1]} + a[i][j] + a[k][l]

特判如果兩個點在一個點上就只加一個a[i][j].

時間復雜度為O(n² * m²)（可以粗略地看成O(n⁴)）

關於優化：

仔細思考後發現可以把四維壓到三維

此時f[i][j][k]表示小淵和小軒總共走了i步時小淵在第j行，小軒在第k行

則此時小淵的坐標為(j, i - j)，小軒的坐標為(k, i - k)

狀態轉移方程為：

　　f[i][j][k] = max{f[i - 1][j - 1][k], f[i - 1][j][k - 1], f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - 1][k - 1]} + a[j][i - j] + a[k][i - k]

註意此時f數組的第一維要開原來兩倍的空間，還要判斷列數合不合法.

時間復雜度O((n + m) * n²)（可以粗略地看成O(n³)）

[Code:]

 1 //P1006傳紙條
 2 //688ms, 26.55MB
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstdio>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int MAXN = 50 + 1;
 8 
 9 int n, m;
10 int a[MAXN][MAXN];
11 int f[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];
12 
13 inline int Max(int a, int b, int c, int d) { return max(max(max(a, b), c), d); }
14 
15 int main() {
16     scanf("%d%d", &n, &m);
17     for(int i=1; i<=n; ++i)
18         for(int j=1; j<=m; ++j)
19             scanf("%d", &a[i][j]);
20     for(int i=1; i<=n; ++i)
21     for(int j=1; j<=m; ++j)
22     for(int k=1; k<=n; ++k)
23     for(int l=1; l<=m; ++l) {
24         f[i][j][k][l] = Max(f[i-1][j][k-1][l], f[i-1][j][k][l-1], 
25                             f[i][j-1][k-1][l], f[i][j-1][k][l-1])+a[i][j]+a[k][l];
26         if(i==k && j==l) f[i][j][k][l] -= a[i][j];
27     }
28     printf("%d\n", f[n][m][n][m]);
29 }

 1 //P1006傳紙條
 2 //16ms, 3MB
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstdio>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int MAXN = 50 + 1;
 8 
 9 int n, m;
10 int a[MAXN][MAXN];
11 int f[MAXN << 1][MAXN][MAXN];
12 
13 inline int Max(int a, int b, int c, int d) { return max(max(max(a, b), c), d); }
14 
15 int main() {
16     scanf("%d%d", &n, &m);
17     for(int i=1; i<=n; ++i)
18         for(int j=1; j<=m; ++j)
19             scanf("%d", &a[i][j]);
20     for(int i=1; i<=n+m; ++i)
21     for(int j=1; j<=n; ++j)
22     for(int k=1; k<=n; ++k) {
23         int x1 = j, y1 = i - j,
24             x2 = k, y2 = i - k;
25         if(y1<1 || y2<1) continue;
26         f[i][j][k] = Max(f[i-1][j-1][k], f[i-1][j][k-1],
27                          f[i-1][j][k], f[i-1][j-1][k-1])+a[x1][y1]+a[x2][y2];
28         if(x1==x2 && y1==y2) f[i][j][k] -= a[x1][y1];
29     }
30     printf("%d\n", f[n+m][n][n]);
31 }

【洛谷】【動態規劃(多維)】P1006 傳紙條